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《探究函数中心对称的性质：从定义到推导及应用》
函数中心对称的定义
设函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)中心对称，那么对于函数图象上任意一点\((x,y)\)，其关于点\((a,b)\)对称的点\((2a - x,2b - y)\)也在函数图象上，即\(f(x)+f(2a - x)=2b\)。
常见函数的中心对称性质推导
（一）奇函数的中心对称性质
1、对于奇函数\(y = f(x)\)，其满足\(f(-x)=-f(x)\)，此时函数图象关于原点\((0,0)\)中心对称。
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- 推导：在\(f(x)+f(2a - x)=2b\)这个中心对称的一般表达式中，当\(a = 0\)，\(b = 0\)时，\(f(x)+f(-x)=0\)，这就是奇函数的定义式。
- 从图象上看，奇函数的图象绕原点旋转\(180^{\circ}\)后与原图象重合。(y = x^3\)，\(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\)，其图象关于原点对称。
2、性质拓展
- (y = f(x)\)是奇函数，(f(x)\)在关于原点对称的区间上的单调性相同。
- 证明：设\(x_1\lt x_2\)，\(x_1,x_2\in(-A,0)\)（\(A>0\)），因为\(f(x)\)是奇函数，则\(f(x_1)-f(x_2)=- f(-x_1)+f(-x_2)\)，由于\(-x_1>-x_2\)，\(-x_1,-x_2\in(0,A)\)，根据\(f(x)\)在\((0,A)\)上的单调性（假设单调递增），有\(f(-x_1)>f(-x_2)\)，(f(x_1)-f(x_2)<0\)，即\(f(x)\)在\(( - A,0)\)上也单调递增。
（二）一般函数中心对称的推导
1、已知函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)中心对称，即\(f(x)+f(2a - x)=2b\)。
- 我们可以通过这个等式来求解函数的一些未知参数或者研究函数的其他性质，已知函数\(y = f(x)\)关于点\((1,2)\)中心对称，且\(f(x)=x^2+mx + n\)。
- 根据\(f(x)+f(2 - x)=4\)，将\(f(x)=x^2+mx + n\)和\(f(2 - x)=(2 - x)^2+m(2 - x)+n\)代入可得：
- \((x^2+mx + n)+[(2 - x)^2+m(2 - x)+n]=4\)。
- 展开式子：\(x^2+mx + n+4 - 4x+x^2+2m - mx + n = 4\)。
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- 整理得\(2x^2-4x + 2n+2m = 0\)，对于任意\(x\)都成立，(-4 = 0\)（\(x\)的一次项系数），\(2n + 2m=0\)（常数项），解得\(m = 2\)，\(n=-2\)。
2、函数图象平移与中心对称的关系
- 若函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)中心对称，将函数图象向上平移\(k\)个单位，向右平移\(h\)个单位后，得到函数\(y = f(x - h)+k\)的图象关于点\((a + h,b + k)\)中心对称。
- 推导：设原函数\(y = f(x)\)上一点\((x,y)\)关于点\((a,b)\)对称的点为\((2a - x,2b - y)\)，对于平移后的函数\(y = f(x - h)+k\)，当\(x'=x - h\)时，原函数上的点\((x,y)\)变为\((x + h,y + k)\)，其关于点\((a + h,b + k)\)对称的点为\((2(a + h)-(x + h),2(b + k)-(y + k))=(2a - x+h,2b - y + k)\)。
- 因为\(y = f(x)\)满足\(f(x)+f(2a - x)=2b\)，则\(f(x - h)+k+f(2a-(x - h))+k=2(b + k)\)，所以平移后的函数图象关于点\((a + h,b + k)\)中心对称。
函数中心对称性质的应用
（一）求值问题
1、已知函数\(y = f(x)\)关于点\((1,3)\)中心对称，且\(f(2)=5\)，求\(f(0)\)的值。
- 因为函数\(y = f(x)\)关于点\((1,3)\)中心对称，(f(x)+f(2 - x)=6\)。
- 当\(x = 2\)时，\(f(2)+f(0)=6\)，又因为\(f(2)=5\)，(f(0)=1\)。
（二）函数图象的绘制
1、对于一些复杂函数，如果知道其中心对称点，可以通过先绘制出函数在中心对称点一侧的图象，然后根据中心对称性质绘制另一侧的图象。
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- 例如函数\(y=\frac{1}{x - 1}+2\)，其图象可以看作是由\(y=\frac{1}{x}\)先向右平移\(1\)个单位，再向上平移\(2\)个单位得到的，而\(y=\frac{1}{x}\)是关于原点对称的双曲线，(y=\frac{1}{x - 1}+2\)的图象关于点\((1,2)\)中心对称。
- 我们可以先绘制出\(x>1\)时函数的图象，然后根据中心对称性质绘制出\(x<1\)时的图象。
（三）函数性质的研究
1、在研究函数的周期性与中心对称的关系时，如果函数\(y = f(x)\)既关于点\((a,0)\)中心对称，又关于直线\(x = b\)对称（\(a\neq b\)），那么函数\(y = f(x)\)是周期函数，周期\(T = 4|a - b|\)。
- 推导：因为函数\(y = f(x)\)关于点\((a,0)\)中心对称，则\(f(x)+f(2a - x)=0\)，即\(f(x)= - f(2a - x)\)；又因为函数关于直线\(x = b\)对称，则\(f(x)=f(2b - x)\)。
- (f(2b - x)=-f(2a - x)\)，令\(t = 2b - x\)，则\(x = 2b - t\)，(f(t)=-f(2a - 2b + t)\)。
- 再令\(u = 2a - 2b + t\)，则\(t=2b - 2a+u\)，(f(2b - 2a+u)=-f(u)\)，即\(f(u + 4(a - b))=-f(u + 2(a - b))=f(u)\)，所以周期\(T = 4|a - b|\)。
函数中心对称的性质在函数的研究、求值、图象绘制等方面有着广泛的应用，深入理解这些性质有助于我们更好地掌握函数这一重要的数学概念。
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