《探究二次函数中心对称公式及其应用》
一、二次函数的一般形式与中心对称的概念
二次函数的一般形式为\(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a\neq0\)），中心对称是一种图形变换关系，对于一个点\(P(x,y)\)关于点\(M(m,n)\)的中心对称点\(P'(x',y')\)，满足\(m=\frac{x + x'}{2}\)，\(n=\frac{y + y'}{2}\)，即\(x' = 2m-x\)，\(y'=2n - y\)。
对于二次函数图像，如果它存在中心对称，那么我们需要找到这个对称中心的坐标。
二、二次函数中心对称公式的推导
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1、对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)，我们可以通过配方将其转化为顶点式。
\[
\begin{align*}
y&=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c\\
&=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\right)+c\\
&=a\left(x +\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c
\end{align*}
\]
二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)的顶点坐标为\(\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}}{4a}+c\right)\)。
2、设二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)关于点\((h,k)\)中心对称的函数为\(y'=a'(x - h)^{2}+k\)。
取二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)上一点\((x,y)\)，它关于点\((h,k)\)的对称点为\((x',y')\)，根据中心对称点的坐标关系有\(x'=2h - x\)，\(y' = 2k-y\)。
将\(x = 2h - x'\)，\(y=2k - y'\)代入\(y = ax^{2}+bx + c\)中得：
\[
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\begin{align*}
2k-y'&=a(2h - x')^{2}+b(2h - x')+c\\
2k-y'&=a\left(4h^{2}-4hx'+x'^{2}\right)+2bh - bx'+c\\
y'&=-a\left(4h^{2}-4hx'+x'^{2}\right)- 2bh+bx'-c + 2k\\
y'&=-ax'^{2}+(4ah + b)x'-(4ah^{2}+2bh + c - 2k)
\end{align*}
\]
由于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)与它关于点\((h,k)\)中心对称的函数\(y'=-ax'^{2}+(4ah + b)x'-(4ah^{2}+2bh + c - 2k)\)是中心对称关系，所以对于任意\(x\)和\(x'\)都满足这种关系。
当\(a=-a\)时，\(a = 0\)（舍去），(a'=-a\)。
通过比较系数可得：\(4ah + b = 0\)，解得\(h =-\frac{b}{2a}\)。
将\(h =-\frac{b}{2a}\)代入\(2k=-\frac{b^{2}}{2a}+2c\)，解得\(k=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)。
所以二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)的中心对称中心为\(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a}\right)\)
三、二次函数中心对称公式的应用
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1、函数图像的绘制
- 知道二次函数的中心对称中心后，我们可以更方便地绘制函数图像，当我们要绘制\(y = 2x^{2}- 4x+1\)的图像时，首先计算其中心对称中心。
- 对于\(y = 2x^{2}-4x + 1\)，(a = 2\)，\(b=-4\)，\(c = 1\)，根据中心对称公式，中心对称中心的横坐标\(h=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\times2} = 1\)，纵坐标\(k=\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{4\times2\times1-(-4)^{2}}{4\times2}=\frac{8 - 16}{8}=-1\)。
- 我们可以先确定中心对称中心\((1,-1)\)，然后再取几个特殊点，根据二次函数的对称性来绘制完整的图像。
2、函数性质的研究
- 对于二次函数的最值问题，结合中心对称中心可以有新的理解，二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)在顶点\(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a}\right)\)处取得最值（当\(a>0\)时为最小值，当\(a<0\)时为最大值）。
- 从中心对称的角度看，函数图像关于中心对称中心对称，在对称中心两侧函数的单调性是相反的，对于\(y=-x^{2}+2x - 3\)，\(a=-1\)，\(b = 2\)，\(c=-3\)，中心对称中心为\((1,-2)\)，在\(x<1\)时函数单调递增，在\(x>1\)时函数单调递减。
3、解决函数变换相关问题
- 在一些函数变换中，如将二次函数进行平移、对称等操作后，中心对称中心也会相应地发生变化，如果我们知道原始二次函数的中心对称中心，就可以根据变换规则准确地求出变换后函数的中心对称中心。
- 将二次函数\(y = x^{2}\)向上平移\(2\)个单位，再关于\(y\)轴对称，原函数\(y = x^{2}\)的中心对称中心为\((0,0)\)，向上平移\(2\)个单位后函数为\(y=x^{2}+2\)，中心对称中心变为\((0,2)\)，再关于\(y\)轴对称后函数为\(y = (-x)^{2}+2=x^{2}+2\)，中心对称中心仍然为\((0,2)\)。
二次函数中心对称公式在二次函数的图像绘制、性质研究以及函数变换等方面都有着重要的应用，深入理解这个公式有助于我们更好地掌握二次函数这一重要的数学概念。
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