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例题
已知函数f(x) = x^3 - 3x，求该函数的对称轴和对称中心。
解题过程
1、分析函数性质
观察给定的函数f(x) = x^3 - 3x，可以发现它是一个三次函数，根据三次函数的性质，我们可以判断该函数在定义域内存在对称轴。
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2、求对称轴
对称轴是函数图像上的一条直线，对于任意一点(x, f(x))，它在对称轴上的对称点为(x', f(x'))，且x' = -x，由于对称轴是函数图像的对称轴，所以f(x) = f(-x)。
根据上述性质，我们可以列出方程：
x^3 - 3x = (-x)^3 - 3(-x)
化简得：
x^3 - 3x = -x^3 + 3x
移项得：
2x^3 - 6x = 0
提取公因式得：
2x(x^2 - 3) = 0
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解得：
x = 0 或 x^2 - 3 = 0
由于x^2 - 3 = 0的解为x = ±√3，所以函数f(x) = x^3 - 3x的对称轴为x = 0，即y轴。
3、求对称中心
对称中心是函数图像上的一点，对于任意一点(x, f(x))，它在对称中心上的对称点为(x', f(x'))，且x' = 2a - x，f(x') = f(x)，a为对称中心的横坐标。
由于对称轴为x = 0，即y轴，我们可以推断出对称中心的横坐标a = 0。
将a = 0代入f(x) = f(x')，得：
x^3 - 3x = (-x)^3 - 3(-x)
化简得：
x^3 - 3x = -x^3 + 3x
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移项得：
2x^3 - 6x = 0
提取公因式得：
2x(x^2 - 3) = 0
解得：
x = 0 或 x^2 - 3 = 0
由于x^2 - 3 = 0的解为x = ±√3，所以对称中心的横坐标a = 0，纵坐标b = f(0) = 0^3 - 3 * 0 = 0。
函数f(x) = x^3 - 3x的对称中心为(0, 0)。
通过本例题，我们了解了如何求解函数的对称轴和对称中心，分析函数性质，判断是否存在对称轴，利用对称轴的性质，列出方程求解对称轴，根据对称轴求解对称中心，在解题过程中，注意对称轴与对称中心的关系，以及对称轴的性质，掌握这些方法，有助于我们更好地解决与函数对称性相关的问题。
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