本文目录导读：
在数学领域中，函数的对称中心是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像，特别是在处理分数函数时，了解其对称中心对于我们掌握函数的图像特征和求解问题具有重要意义，本文将详细介绍分数函数对称中心的计算方法，并通过实例解析，帮助读者更好地理解这一概念。
图片来源于网络，如有侵权联系删除
分数函数对称中心的定义
分数函数的对称中心是指函数图像上所有对称点的坐标的集合，对于分数函数 $f(x)= rac{p(x)}{q(x)}$，如果存在一个点 $(a,b)$，使得对于任意的 $x$，都有 $f(x)+f(2a-x)=2b$，那么点 $(a,b)$ 就是分数函数 $f(x)$ 的对称中心。
分数函数对称中心的计算方法
1、求解分子和分母的导数
对于分数函数 $f(x)= rac{p(x)}{q(x)}$，首先我们需要求解分子 $p(x)$ 和分母 $q(x)$ 的导数，分别记为 $p'(x)$ 和 $q'(x)$。
2、求解对称中心的横坐标
根据对称中心的定义，我们有 $f(x)+f(2a-x)=2b$，将分数函数 $f(x)$ 代入上述等式，得到：
$$ rac{p(x)}{q(x)}+ rac{p(2a-x)}{q(2a-x)}=2b$$
为了求解对称中心的横坐标 $a$，我们需要对上述等式进行变形，将等式两边同时乘以 $q(x)q(2a-x)$，得到：
$$p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)=2bq(x)q(2a-x)$$
对上述等式两边同时求导，得到：
$$p'(x)q(2a-x)+p(x)q'(2a-x)+p'(2a-x)q(x)+p(2a-x)q'(x)=2b(q(x)q'(2a-x)+q'(x)q(2a-x))$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$p'(x)q(2a-x)+p(x)q'(2a-x)+p'(2a-x)q(x)+p(2a-x)q'(x)=4bq(x)q'(2a-x)$$
继续对上述等式两边同时求导，得到：
$$p''(x)q(2a-x)+2p'(x)q'(2a-x)+p'(2a-x)q''(x)+p''(2a-x)q(x)=4b(q'(2a-x)^2+q(x)q''(2a-x))$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $p''(2a-x)q(x)$，得到：
$$ rac{p''(x)q(2a-x)}{p''(2a-x)q(x)}+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(2a-x)q(x)}+ rac{p'(2a-x)q''(x)}{p''(2a-x)q(x)}=4bleft( rac{q'(2a-x)^2}{p''(2a-x)q(x)}+ rac{q(x)q''(2a-x)}{p''(2a-x)q(x)} ight)$$
由于 $p''(x)$ 和 $q(x)$ 在对称中心处不为零，我们可以将上述等式两边同时除以 $p''(x)q(x)$，得到：
$$ rac{p''(x)q(2a-x)}{p''(2a-x)q(x)}+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(2a-x)q(x)}+ rac{p'(2a-x)q''(x)}{p''(2a-x)q(x)}=4bleft( rac{q'(2a-x)^2}{p''(2a-x)}+ rac{q(x)q''(2a-x)}{p''(2a-x)} ight)$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时乘以 $p''(2a-x)$，得到：
$$p''(x)q(2a-x)+2p'(x)q'(2a-x)+p'(2a-x)q''(x)=4bleft(p''(2a-x)q'(2a-x)^2+p''(2a-x)q(x)q''(2a-x) ight)$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$p''(x)q(2a-x)+2p'(x)q'(2a-x)+p'(2a-x)q''(x)=4bq(x)q(2a-x)$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $q(x)q(2a-x)$，得到：
$$p''(x)+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{q(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{q(x)}=4b$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$p''(x)+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{q(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{q(x)}=4b$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $p''(x)$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)q(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)q(x)}=4b rac{1}{p''(x)}$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时乘以 $p''(x)$，得到：
$$p''(x)+2p'(x)q'(2a-x)+p'(2a-x)q''(x)=4bp''(x)$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
图片来源于网络，如有侵权联系删除
$$p''(x)+2p'(x)q'(2a-x)+p'(2a-x)q''(x)=4bp''(x)$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $p''(x)$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $1$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $1$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $1$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $1$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $1$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $1$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $1$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
图片来源于网络，如有侵权联系删除
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $1$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $1$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $1$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $1$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $1$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $1$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心满足 $f(x)+f(2a-x)=2b$，我们可以将 $p(x)q(2a-x)+p(2a-x)q(x)$ 替换为 $2bq(x)q(2a-x)$，得到：
$$1+2 rac{p'(x)q'(2a-x)}{p''(x)}+p'(2a-x) rac{q''(x)}{p''(x)}=4b$$
由于对称中心是唯一的，我们可以将上述等式两边同时除以 $1$，得到：
$$1+2\
标签： #函数的对称中心怎么算
评论列表