本文目录导读：
图片来源于网络，如有侵权联系删除
三次函数是高中数学中的一种重要函数类型，它具有丰富的几何和代数性质，在研究三次函数的图像时，我们发现其图像呈现出对称性，本文将详细介绍三次函数的对称中心求法，并探讨其几何与代数的巧妙融合。
三次函数的对称中心定义
三次函数的对称中心是指函数图像上的一条线，该线将函数图像分为两部分，使得两部分关于这条线对称，对于三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其对称中心通常是一条直线，其方程为$x=m$，m$为实数。
三次函数对称中心求法之一：几何法
1、几何作图法
画出三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$的图像，找到函数图像上的一个对称点$P(x_1,y_1)$，x_1$为实数，找到与点$P$关于对称中心的对称点$Q(x_2,y_2)$，由于$P$和$Q$关于对称中心对称，因此它们的中点$Mleft( rac{x_1+x_2}{2}, rac{y_1+y_2}{2} ight)$即为对称中心，画出直线$PM$，即为所求的对称中心。
2、几何证明法
设三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$的对称中心为直线$x=m$，由于$f(x)$的图像关于直线$x=m$对称，因此对于任意$x$，有$f(x)=f(2m-x)$，根据函数的定义，我们可以得到以下等式：
$$
egin{aligned}
f(x) &= ax^3+bx^2+cx+d \
f(2m-x) &= a(2m-x)^3+b(2m-x)^2+c(2m-x)+d
end{aligned}
$$
将上述两个等式相等，得到：
$$
ax^3+bx^2+cx+d = a(2m-x)^3+b(2m-x)^2+c(2m-x)+d
$$
化简上述等式，得到：
$$
x^3 - (2m-x)^3 = 0
$$
展开并化简上述等式，得到：
$$
x^3 - (8m^3 - 12m^2x + 6mx^2 - x^3) = 0
图片来源于网络，如有侵权联系删除
$$
整理上述等式，得到：
$$
3x^3 - 12m^2x + 6mx^2 = 0
$$
由于上述等式对于任意$x$都成立，因此我们可以得到以下结论：
$$
egin{aligned}
3x^3 &= 12m^2x \
6mx^2 &= 0
end{aligned}
$$
由第二个等式可知，$x=0$或$m=0$，由第一个等式可知，$x=4m$，对称中心为直线$x=4m$。
三次函数对称中心求法之二：代数法
1、对称点坐标法
对于三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，设其对称中心为直线$x=m$，根据对称中心的定义，对于任意$x$，有$f(x)=f(2m-x)$，将上述等式代入函数表达式，得到：
$$
egin{aligned}
ax^3+bx^2+cx+d &= a(2m-x)^3+b(2m-x)^2+c(2m-x)+d \
ax^3+bx^2+cx+d &= a(8m^3 - 12m^2x + 6mx^2 - x^3)+b(4m-x)^2+c(2m-x)+d
end{aligned}
$$
化简上述等式，得到：
$$
图片来源于网络，如有侵权联系删除
3x^3 - 12m^2x + 6mx^2 = 0
$$
由于上述等式对于任意$x$都成立，因此我们可以得到以下结论：
$$
egin{aligned}
3x^3 &= 12m^2x \
6mx^2 &= 0
end{aligned}
$$
由第二个等式可知，$x=0$或$m=0$，由第一个等式可知，$x=4m$，对称中心为直线$x=4m$。
2、对称轴方程法
对于三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其对称中心所在直线$x=m$的斜率为$f'(m)$，由于对称中心是函数图像的对称轴，f'(m)=0$，对函数$f(x)$求导，得到：
$$
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
$$
将$x=m$代入上述等式，得到：
$$
f'(m) = 3am^2 + 2bm + c = 0
$$
解上述一元二次方程，得到对称中心$x=m$的值，根据对称中心的定义，得到对称中心所在直线$x=m$的方程。
本文从几何和代数两个方面介绍了三次函数的对称中心求法，通过几何法，我们可以直观地理解对称中心的几何性质；通过代数法，我们可以用数学公式准确地求解对称中心，在研究三次函数时，掌握对称中心求法对于深入理解函数的图像和性质具有重要意义。
标签： #三次函数的对称中心
评论列表