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在数学领域，函数的对称性是一个重要的研究课题，对称轴和对称中心是描述函数对称性的两个重要概念，本文将探讨函数对称轴与对称中心的求法，并推导相应的公式。
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函数对称轴的求法
1、定义
函数的对称轴是指将函数图像沿某条直线折叠后，折叠前后的图像完全重合的那条直线。
2、求法
（1）一元二次函数
对于一元二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其对称轴为$x = - rac{b}{2a}$。
（2）一元三次函数
对于一元三次函数$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，其对称轴为$x = - rac{b}{3a}$。
（3）一般函数
对于一般函数$f(x)$，若存在实数$k$，使得$f(k+x) = f(k-x)$，则$x = k$为函数的对称轴。
函数对称中心的求法
1、定义
函数的对称中心是指将函数图像沿某一点旋转180°后，旋转前后的图像完全重合的那一点。
2、求法
（1）一元二次函数
对于一元二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其对称中心为$(- rac{b}{2a}, f(- rac{b}{2a}))$。
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（2）一元三次函数
对于一元三次函数$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，其对称中心为$(- rac{b}{3a}, f(- rac{b}{3a}))$。
（3）一般函数
对于一般函数$f(x)$，若存在实数$k$和实数$m$，使得$f(k+x) = m - f(m-x)$，则$(k, m)$为函数的对称中心。
公式推导
1、对称轴公式推导
以一元二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$为例，设对称轴为$x = p$，则有：
$$f(p+x) = a(p+x)^2 + b(p+x) + c$$
$$f(p-x) = a(p-x)^2 + b(p-x) + c$$
由于$f(p+x) = f(p-x)$，可得：
$$a(p+x)^2 + b(p+x) + c = a(p-x)^2 + b(p-x) + c$$
化简得：
$$2axp + b = 0$$
解得：
$$p = - rac{b}{2a}$$
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一元二次函数的对称轴公式为$x = - rac{b}{2a}$。
2、对称中心公式推导
以一元二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$为例，设对称中心为$(p, q)$，则有：
$$f(p+x) = q - f(p-x)$$
代入$f(x)$的表达式，得：
$$a(p+x)^2 + b(p+x) + c = q - [a(p-x)^2 + b(p-x) + c]$$
化简得：
$$2axp + b = q - 2c$$
解得：
$$p = - rac{b}{2a}, q = f(- rac{b}{2a})$$
一元二次函数的对称中心公式为$(- rac{b}{2a}, f(- rac{b}{2a}))$。
通过对函数对称轴与对称中心的求法进行探讨，我们得到了相应的公式，在实际应用中，可以根据这些公式快速求解函数的对称轴和对称中心，为函数图像的绘制和分析提供便利。
标签： #函数的对称轴对称中心怎么求
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