本文目录导读：
中心对称是高中数学中一个重要的概念，它揭示了函数图像中的一种特殊对称关系，通过对函数中心对称性质的研究，我们可以更深入地理解函数图像的形状、特点以及变化规律，本文将详细阐述函数中心对称的性质，并结合实例进行分析，以期帮助读者掌握这一知识点。
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函数中心对称的定义
函数中心对称是指存在一个点O，使得函数图像上的任意一点A，都存在一个对应点B，使得OA=OB，且OA与OB的连线垂直于线段AB，点O被称为对称中心。
函数中心对称的性质
1、对称性：函数图像关于对称中心O对称，即函数图像上的任意一点A与其对称点B关于O对称。
2、对称中心与对称轴的关系：对称中心O到函数图像上的任意一点A的距离等于对称中心O到对称点B的距离，即OA=OB。
3、对称点与对称轴的关系：对称中心O到对称点A、B的连线垂直于线段AB。
4、对称函数的性质：如果函数f(x)关于点O中心对称，那么f(x)的图像关于x轴的对称函数g(x)满足g(x)=f(-x)。
函数中心对称的证明
证明：
设函数f(x)关于点O中心对称，即f(x)与f(-x)关于O对称。
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（1）证明对称性：
对于函数图像上的任意一点A(x1, y1)，其对称点B的坐标为(-x1, y1)，因为A与B关于O对称，所以OA=OB，即x1^2+y1^2=x1^2+y1^2，A与B关于O对称。
（2）证明对称中心与对称轴的关系：
由于A与B关于O对称，所以OA=OB，又因为A与B的连线垂直于线段AB，所以OA与OB的连线也垂直于线段AB，对称中心O到函数图像上的任意一点A的距离等于对称中心O到对称点B的距离，即OA=OB。
（3）证明对称点与对称轴的关系：
由于A与B关于O对称，所以OA与OB的连线垂直于线段AB，对称中心O到对称点A、B的连线垂直于线段AB。
（4）证明对称函数的性质：
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设函数f(x)关于点O中心对称，即f(x)与f(-x)关于O对称，那么对于函数图像上的任意一点A(x1, y1)，其对称点B的坐标为(-x1, y1)，f(-x1)=y1，又因为f(x)与f(-x)关于O对称，所以f(x1)=f(-x1)，g(x)=f(-x)。
实例分析
例1：已知函数f(x)=x^2+2x+1，求函数f(x)的中心对称点。
解：将函数f(x)配方，得到f(x)=(x+1)^2，对称中心O的坐标为(-1, 0)，对于函数图像上的任意一点A(x1, y1)，其对称点B的坐标为(-x1-2, y1)，函数f(x)的中心对称点为(-x1-2, y1)。
例2：已知函数f(x)=|x|，求函数f(x)的中心对称函数g(x)。
解：由于函数f(x)关于原点O中心对称，所以f(x)的中心对称函数g(x)满足g(x)=f(-x)，g(x)=|-x|=|x|。
函数中心对称是高中数学中的一个重要概念，它揭示了函数图像中的一种特殊对称关系，通过对函数中心对称性质的研究，我们可以更深入地理解函数图像的形状、特点以及变化规律，掌握函数中心对称的性质，对于解决实际问题具有重要的指导意义。
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