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在数学中，函数图像的中心对称性是一个重要的概念，一个函数图像如果关于某点中心对称，那么这个函数就具有中心对称性质，本文将介绍函数图像中心对称性的定义，推导出证明函数图像关于某点中心对称的公式，并举例说明其应用。
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定义
设f(x)是定义在实数集R上的一个函数，点P(a, b)是平面直角坐标系上的一个点，如果对于任意的x∈R，都有f(a+x)+f(a-x)=2b，那么称函数f(x)关于点P(a, b)中心对称。
证明公式
证明：
1、设函数f(x)关于点P(a, b)中心对称，即f(a+x)+f(a-x)=2b。
2、令g(x)=f(x)-b，则g(a+x)+g(a-x)=0。
3、对于任意的x∈R，有g(a+x)+g(a-x)=0，即g(x)在点a处关于x轴对称。
4、因为g(x)在点a处关于x轴对称，所以g(x)的导数g'(x)在点a处关于x轴对称。
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5、设g'(x)在点a处的对称点为h(x)，则有h(x)=g'(a-x)。
6、对于任意的x∈R，有h(x)=g'(a-x)，即g'(x)关于点a中心对称。
7、因为g'(x)关于点a中心对称，所以g(x)关于点a中心对称。
8、所以f(x)关于点P(a, b)中心对称。
应用
1、证明函数f(x)=x^2关于点(0, 0)中心对称。
证明：令g(x)=f(x)-0=x^2，则g(x)在点0处关于x轴对称，因为g(x)的导数g'(x)=2x在点0处关于x轴对称，所以g(x)关于点0中心对称，f(x)=x^2关于点(0, 0)中心对称。
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2、求函数f(x)=|x|关于点(0, 0)的对称函数。
解：令g(x)=f(x)-0=|x|，则g(x)在点0处关于x轴对称，因为g(x)的导数g'(x)=1（当x>0）和g'(x)=-1（当x<0）在点0处关于x轴对称，所以g(x)关于点0中心对称，f(x)=|x|关于点(0, 0)的对称函数为h(x)=|-x|=|x|。
本文介绍了函数图像中心对称性的定义，推导出了证明函数图像关于某点中心对称的公式，并举例说明了其应用，通过学习函数图像中心对称性，我们可以更好地理解函数图像的对称性质，为解决实际问题提供帮助。
标签： #证明函数图像关于某点中心对称
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