本文目录导读:
函数的对称性是数学中一个重要的概念,它揭示了函数图像的对称规律,在解决实际问题或进行数学研究时,了解函数的对称性具有很高的实用价值,本文将详细介绍函数对称轴和对称中心的求法,并对其公式进行推导,以帮助读者更好地理解这一数学概念。
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函数的对称轴
1、定义
函数的对称轴是指函数图像上的一条直线,使得图像在这条直线两侧关于该直线对称,对于任意一点P(x,y)在函数图像上,如果存在另一点P'(x',y'),使得P'关于对称轴对称,那么这条直线就是函数的对称轴。
2、求法
(1)对于一元二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0),其对称轴为x=-b/2a。
证明:设对称轴为x=k,则对于任意一点P(x,y),其关于对称轴对称的点为P'(x',y'),则有:
x' = 2k - x
y' = ax'^2 + bx' + c
由于P'关于对称轴对称,因此y' = y,代入上述两式得:
ax^2 + bx + c = a(2k - x)^2 + b(2k - x) + c
ax^2 + bx + c = a(4k^2 - 4kx + x^2) + b(2k - x) + c
ax^2 + bx + c = 4ak^2 - 4akx + ax^2 + 2bk - bx + c
整理得:
4ak^2 - 4akx = -2bk
2ak^2 - 2akx = -bk
2ak^2 = 0
k = -b/2a
一元二次函数y=ax^2+bx+c的对称轴为x=-b/2a。
(2)对于一元二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0),其对称轴为x=-b/2a。
证明:设对称轴为x=k,则对于任意一点P(x,y),其关于对称轴对称的点为P'(x',y'),则有:
x' = 2k - x
y' = ax'^2 + bx' + c
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由于P'关于对称轴对称,因此y' = y,代入上述两式得:
ax^2 + bx + c = a(2k - x)^2 + b(2k - x) + c
ax^2 + bx + c = a(4k^2 - 4kx + x^2) + b(2k - x) + c
ax^2 + bx + c = 4ak^2 - 4akx + ax^2 + 2bk - bx + c
整理得:
4ak^2 - 4akx = -2bk
2ak^2 - 2akx = -bk
2ak^2 = 0
k = -b/2a
一元二次函数y=ax^2+bx+c的对称轴为x=-b/2a。
(3)对于其他函数,求对称轴的方法如下:
①若函数图像关于y轴对称,则对称轴为y轴,即x=0。
②若函数图像关于x轴对称,则对称轴为x轴,即y=0。
③若函数图像关于直线y=kx+b对称,则对称轴为直线y=kx+b。
函数的对称中心
1、定义
函数的对称中心是指函数图像上的一点,使得图像关于该点对称,对于任意一点P(x,y)在函数图像上,如果存在另一点P'(x',y'),使得P'关于对称中心对称,那么这个点就是函数的对称中心。
2、求法
(1)对于一元二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0),其对称中心为(-b/2a, c)。
证明:设对称中心为点O(x0,y0),则对于任意一点P(x,y),其关于对称中心对称的点为P'(x',y'),则有:
x' = 2x0 - x
y' = ax'^2 + bx' + c
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由于P'关于对称中心对称,因此y' = y,代入上述两式得:
ax^2 + bx + c = a(2x0 - x)^2 + b(2x0 - x) + c
ax^2 + bx + c = a(4x0^2 - 4x0x + x^2) + b(2x0 - x) + c
ax^2 + bx + c = 4ax0^2 - 4ax0x + ax^2 + 2bx0 - bx + c
整理得:
4ax0^2 - 4ax0x = -2bx
2ax0^2 - 2ax0x = -bx
2ax0^2 = 0
x0 = -b/2a
将x0代入y' = y得:
y0 = a(-b/2a)^2 + b(-b/2a) + c
y0 = ab^2/4a^2 - bb/2a + c
y0 = c
一元二次函数y=ax^2+bx+c的对称中心为(-b/2a, c)。
(2)对于其他函数,求对称中心的方法如下:
①若函数图像关于原点对称,则对称中心为原点,即(0,0)。
②若函数图像关于点(k,l)对称,则对称中心为点(k,l)。
通过对函数对称轴和对称中心的求法及其公式推导的介绍,读者可以更好地理解函数的对称性,在实际应用中,掌握这一数学概念有助于解决相关问题,提高数学素养。
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