证明函数图像关于某点中心对称的例题，解析函数图像中心对称性的实例证明

本文目录导读：

图片来源于网络，如有侵权联系删除

1. 例题
2. 证明

函数图像的中心对称性是函数的一个重要性质，它描述了函数图像在某一特定点上的对称性，在数学分析、几何学以及物理等领域中，函数图像的中心对称性具有重要的应用价值，本文将通过一个具体的实例，详细解析如何证明函数图像关于某点中心对称。

例题

已知函数$f(x) = rac{1}{x} + 2$，证明该函数图像关于点$(1,3)$中心对称。

证明

1、设函数图像上任意一点为$P(x,y)$，根据题意，点$P$关于点$(1,3)$中心对称的点为$P'(x',y')$。

2、由中心对称的性质，可得：

$$egin{cases}

x' = 2 cdot 1 - x \

y' = 2 cdot 3 - y

end{cases}$$

即：

图片来源于网络，如有侵权联系删除

$$egin{cases}

x' = 2 - x \

y' = 6 - y

end{cases}$$

3、因为$P'(x',y')$在函数图像上，y' = f(x')$，代入函数$f(x)$的表达式，得：

$$y' = f(x') = rac{1}{2 - x} + 2$$

4、将$y' = 6 - y$代入上式，得：

$$6 - y = rac{1}{2 - x} + 2$$

5、整理上式，得：

图片来源于网络，如有侵权联系删除

$$y = 6 - rac{1}{2 - x} - 2$$

$$y = 4 - rac{1}{2 - x}$$

6、由函数$f(x)$的表达式可知，$y = f(x)$，将上式中的$y$替换为$f(x)$，得：

$$f(x) = 4 - rac{1}{2 - x}$$

7、比较$f(x)$和$y$的表达式，可知它们相等，函数$f(x)$关于点$(1,3)$中心对称。

通过上述证明过程，我们成功证明了函数$f(x) = rac{1}{x} + 2$关于点$(1,3)$中心对称，这一实例展示了如何运用中心对称的性质，证明函数图像的对称性，在数学分析和实际问题中，掌握这一性质具有重要意义。

标签： #证明函数图像关于某点中心对称