证明函数图像关于某点中心对称的例题，证明函数图像关于某点中心对称，函数图像中心对称性证明——以f(x) = x^2 - 4x + 3为例

以f(x) = x^2 - 4x + 3为例，证明函数图像关于某点中心对称。求导数f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0得x = 2，此时f(2) = -1，故对称中心为(2, -1)。对任意x值，有f(x) + f(4 - x) = 0，证明f(x)图像关于点(2, -1)中心对称。

本文目录导读：

1. 证明过程

函数图像的对称性是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质，中心对称性是函数图像的一种对称性，指的是函数图像关于某个点对称，本文以函数f(x) = x^2 - 4x + 3为例，证明其图像关于某点中心对称。

图片来源于网络，如有侵权联系删除

证明过程

1、确定对称中心

我们需要确定函数f(x) = x^2 - 4x + 3的对称中心，根据对称中心的定义，设对称中心为点P(a, b)，则有：

f(a + x) = f(a - x)

将f(x) = x^2 - 4x + 3代入上式，得：

(a + x)^2 - 4(a + x) + 3 = (a - x)^2 - 4(a - x) + 3

展开并化简，得：

a^2 + 2ax + x^2 - 4a - 4x + 3 = a^2 - 2ax + x^2 - 4a + 4x + 3

整理后，得：

4ax - 8x = 0

化简得：

4a - 8 = 0

解得：

a = 2

将a = 2代入f(x) = x^2 - 4x + 3，得：

f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1

对称中心为点P(2, -1)。

图片来源于网络，如有侵权联系删除

2、验证对称性

我们需要验证函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像是否关于点P(2, -1)中心对称。

根据中心对称的定义，对于任意点A(x1, y1)在函数图像上，其关于点P(2, -1)的对称点B(x2, y2)也应在函数图像上，且满足以下条件：

x1 + x2 = 2 * a

y1 + y2 = 2 * b

将对称中心P(2, -1)代入上式，得：

x1 + x2 = 4

y1 + y2 = -2

设点A(x1, y1)在函数图像上，则有：

y1 = x1^2 - 4x1 + 3

点B(x2, y2)为点A关于点P的对称点，因此有：

x2 = 4 - x1

y2 = -2 - y1

将y1代入上式，得：

y2 = -2 - (x1^2 - 4x1 + 3)

y2 = -x1^2 + 4x1 - 5

图片来源于网络，如有侵权联系删除

由于点B(x2, y2)也在函数图像上，所以有：

y2 = x2^2 - 4x2 + 3

将x2代入上式，得：

-x1^2 + 4x1 - 5 = (4 - x1)^2 - 4(4 - x1) + 3

展开并化简，得：

-x1^2 + 4x1 - 5 = 16 - 8x1 + x1^2 - 16 + 4x1 + 3

整理后，得：

2x1^2 - 12x1 + 14 = 0

解得：

x1 = 1 或 x1 = 7

将x1代入y1 = x1^2 - 4x1 + 3，得：

y1 = 1^2 - 4*1 + 3 = 0 或 y1 = 7^2 - 4*7 + 3 = 22

点A(1, 0)和点A(7, 22)是函数图像上的两个对称点，它们关于点P(2, -1)中心对称。

通过上述证明，我们得出结论：函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像关于点P(2, -1)中心对称，这一结论有助于我们更好地理解函数的性质，并为解决相关数学问题提供帮助。

标签： #函数中心对称性