证明函数图像关于某点中心对称的例题，证明函数图像关于某点中心对称，函数图像中心对称性证明——以二次函数为例

本例通过二次函数证明函数图像关于某点中心对称。通过函数表达式及对称点坐标，建立方程组，求出对称点坐标。利用对称性，证明函数在关于对称点的对应点处取相同值，从而证明函数图像关于该点中心对称。

本文目录导读：

1. 二次函数图像中心对称性证明

函数图像的对称性是函数的一个重要性质，它反映了函数在坐标系中的几何特征，中心对称是函数图像对称性的一种，即存在一个点，使得函数图像关于该点中心对称，本文以二次函数为例，证明函数图像关于某点中心对称。

二次函数图像中心对称性证明

设二次函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），我们需要证明函数图像关于点P(p, q)中心对称。

1、设点A(x1, y1)是函数图像上任意一点，点B(x2, y2)是点A关于点P中心对称的点。

图片来源于网络，如有侵权联系删除

根据中心对称的定义，有：

x1 + x2 = 2p

y1 + y2 = 2q

2、由于点A在函数图像上，因此有y1 = f(x1) = ax1^2 + bx1 + c。

同理，点B也在函数图像上，因此有y2 = f(x2) = ax2^2 + bx2 + c。

3、将y1和y2代入y1 + y2 = 2q中，得到：

ax1^2 + bx1 + c + ax2^2 + bx2 + c = 2q

4、根据x1 + x2 = 2p，可以将x2表示为x2 = 2p - x1，代入上式中，得到：

ax1^2 + bx1 + c + a(2p - x1)^2 + b(2p - x1) + c = 2q

5、展开并化简上式，得到：

图片来源于网络，如有侵权联系删除

a(5x1^2 - 4px1 + p^2) + b(2p - x1) + 2c = 2q

6、因为点A是函数图像上任意一点，所以上式对于任意的x1都成立，我们可以将上式中的a、b、c视为常数，设为k1、k2、k3，得到：

5k1x1^2 - 4pk1x1 + p^2k1 + 2pk2 - k2x1 + 2k3 = 2q

7、由于上式对于任意的x1都成立，因此系数必须相等，即：

5k1 = 0

-4pk1 + 2pk2 - k2 = 0

p^2k1 + 2k3 = 2q

8、由5k1 = 0，得到k1 = 0，代入第二个等式，得到：

-4pk2 + 2pk2 - k2 = 0

-2pk2 - k2 = 0

图片来源于网络，如有侵权联系删除

k2(2p + 1) = 0

由于k2 ≠ 0（否则f(x)为常数函数，不存在对称性），因此得到2p + 1 = 0，即p = -1/2。

9、将p = -1/2代入第三个等式，得到：

p^2k1 + 2k3 = 2q

(-1/2)^2 * 0 + 2k3 = 2q

2k3 = 2q

k3 = q

10、我们得到p = -1/2，q = k3，二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像关于点P(-1/2, q)中心对称。

本文以二次函数为例，证明了函数图像关于某点中心对称的结论，该方法可以推广到其他类型的函数，具有一定的普适性，函数图像的对称性在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，对于理解函数的性质具有重要意义。