本文目录导读:
《函数中心对称和轴对称的区别探究》
概念本质
1、轴对称
- 对于函数\(y = f(x)\),如果存在一条直线\(x = a\),使得对于定义域内的任意\(x\),都有\(f(a + x)=f(a - x)\),那么函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)对称,这条直线\(x = a\)称为函数的对称轴。
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- 从图象上看,沿对称轴\(x = a\)将函数图象对折,对折后的两部分图象能够完全重合,例如二次函数\(y=(x - 1)^2\),其对称轴为\(x = 1\),当\(x = 2\)时\(y=(2 - 1)^2=1\),当\(x=0\)时\(y=(0 - 1)^2 = 1\),满足\(f(1 + 1)=f(1 - 1)\)。
2、中心对称
- 对于函数\(y = f(x)\),如果存在点\((a,b)\),使得对于定义域内的任意\(x\),都有\(f(a + x)+f(a - x)=2b\),那么函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)对称,这个点\((a,b)\)称为函数的对称中心。
- 直观地说,函数图象绕着对称中心\((a,b)\)旋转\(180^{\circ}\)后,得到的图象与原图象完全重合,例如函数\(y = x^3\),它关于原点\((0,0)\)对称,因为对于任意的\(x\),\(f(x)=x^3\),\(f(-x)= - x^3\),满足\(f(x)+f(-x)=x^3+(-x^3)=0\),这里\(a = 0\),\(b = 0\)。
函数性质体现
1、单调性
轴对称函数:对于轴对称函数,在对称轴两侧的单调性可能相同也可能相反,以二次函数\(y = ax^2+bx + c(a\neq0)\)为例,当\(a>0\)时,在对称轴\(x =-\frac{b}{2a}\)左侧函数单调递减,右侧单调递增;而对于函数\(y=\cos x\),它的对称轴为\(x = k\pi(k\in Z)\),在相邻对称轴之间的区间上单调性相反。
中心对称函数:中心对称函数在对称中心两侧的单调性往往是相反的,例如函数\(y = \frac{1}{x}\),其对称中心为\((0,0)\),在\((-\infty,0)\)上函数单调递减,在\((0,+\infty)\)上函数也单调递减,但从整个定义域来看,在对称中心两侧单调性相反。
2、奇偶性
轴对称与奇偶性的关系:如果函数\(y = f(x)\)的图象关于\(y\)轴对称,即对称轴为\(x = 0\),那么这个函数是偶函数,满足\(f(x)=f(-x)\),但对于一般的轴对称函数(对称轴\(x = a\neq0\)),它不是偶函数。
中心对称与奇偶性的关系:如果函数\(y = f(x)\)的图象关于原点\((0,0)\)对称,那么这个函数是奇函数,满足\(f(-x)= - f(x)\),对于一般的中心对称函数(对称中心为\((a,b)\),\(a\neq0\)或\(b\neq0\)),它不是奇函数。
函数图象特征
1、轴对称函数图象特征
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- 图象在对称轴两侧具有某种“镜像”关系,例如正弦函数\(y=\sin x\),它的对称轴为\(x = k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\),在对称轴\(x=\frac{\pi}{2}\)两侧,\(\sin(\frac{\pi}{2}+h)=\cos h\),\(\sin(\frac{\pi}{2}-h)=\cos h\),函数值的变化规律呈现出对称的特点。
- 对于二次函数\(y = ax^2+bx + c\),其图象是一条抛物线,对称轴\(x =-\frac{b}{2a}\)将抛物线分成两部分,这两部分的形状相同,开口方向一致(\(a\)相同)。
2、中心对称函数图象特征
- 图象绕对称中心旋转\(180^{\circ}\)后与原图象重合,如反比例函数\(y=\frac{1}{x}\)的图象,以原点为对称中心,它的两支曲线在对称中心两侧,当\((x,y)\)在图象上时,\(( - x,-y)\)也在图象上。
- 对于函数\(y = x^3 - 3x\),通过求导\(y'=3x^2 - 3\),令\(y' = 0\)可得\(x=\pm1\),再求二阶导\(y'' = 6x\),可知\(x = 1\)为极小值点,\(x=-1\)为极大值点,其图象关于原点对称,在对称中心两侧函数的增减性和凹凸性等特征呈现出中心对称的规律。
在函数变换中的表现
1、平移变换
轴对称函数:对于轴对称函数\(y = f(x)\),如果将其图象沿\(x\)轴方向平移\(h\)个单位,对称轴也会相应地平移\(h\)个单位。(y=(x - 1)^2\)的对称轴为\(x = 1\),将函数图象向左平移\(2\)个单位得到\(y=(x + 1)^2\),其对称轴变为\(x=-1\)。
中心对称函数:对于中心对称函数\(y = f(x)\),图象沿\(x\)轴方向平移\(h\)个单位后,对称中心的\(x\)坐标也平移\(h\)个单位。(y = x^3\)的对称中心为\((0,0)\),将其图象向右平移\(1\)个单位得到\(y=(x - 1)^3\),对称中心变为\((1,0)\)。
2、伸缩变换
轴对称函数:当对轴对称函数\(y = f(x)\)进行\(x\)方向的伸缩变换时,对称轴的位置会根据伸缩比例发生变化,例如对于函数\(y=\cos x\),其对称轴为\(x = k\pi\),如果将\(x\)变为\(2x\),得到\(y=\cos 2x\),其对称轴变为\(x=\frac{k\pi}{2}\)。
中心对称函数:在对中心对称函数进行伸缩变换时,对称中心不变,但函数图象在对称中心附近的形状会根据伸缩比例发生改变,例如对于函数\(y = \frac{1}{x}\),如果将\(x\)变为\(2x\),得到\(y=\frac{1}{2x}\),其对称中心仍然是\((0,0)\),但图象在原点附近变得“更陡”或“更缓”。
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在解题中的应用区别
1、求函数值
轴对称函数:利用轴对称性质求函数值时,往往根据对称轴两侧函数值的对称关系,例如已知函数\(y = f(x)\)(x = 2\)对称,且\(f(3)=5\),那么根据\(f(2 + x)=f(2 - x)\),可得\(f(1)=f(3)=5\)。
中心对称函数:对于中心对称函数,利用对称中心的性质求函数值,如函数\(y = g(x)\)关于点\((1,2)\)对称,已知\(g(2)=3\),则根据\(g(1 + x)+g(1 - x)=4\),可得\(g(0)=4 - g(2)=1\)。
2、证明函数性质
轴对称函数性质证明:在证明轴对称函数的某些性质时,常常利用对称轴的定义\(f(a + x)=f(a - x)\)进行推导,例如证明函数\(y = f(x)\)在对称轴\(x = a\)两侧单调性相反时,可通过设\(x_1=a + h\),\(x_2=a - h\)(\(h>0\)),然后比较\(f(x_1)\)与\(f(x_2)\)的大小关系。
中心对称函数性质证明:证明中心对称函数性质时,依据中心对称的定义\(f(a + x)+f(a - x)=2b\),例如证明中心对称函数的奇偶性相关性质,通过分析对称中心与函数值之间的关系来进行论证。
3、函数解析式求解
轴对称函数解析式求解:如果已知函数\(y = f(x)\)(x = a\)对称,且知道函数在对称轴一侧的解析式,那么可以通过\(f(a + x)=f(a - x)\)来求出另一侧的解析式,例如已知函数\(y = f(x)\)(x = 1\)对称,且\(y = x^2\)(\(x\geqslant1\)),设\(x<1\),则\(2 - x>1\),根据对称关系\(f(x)=f(2 - x)=(2 - x)^2\)。
中心对称函数解析式求解:对于中心对称函数,若已知关于点\((a,b)\)对称且一侧的解析式,可利用\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)求解另一侧解析式,例如函数\(y = g(x)\)((0,0)\)对称,已知\(y = x + 1(x>0)\),设\(x<0\),则\(-x>0\),由\(g(x)+g(-x)=0\)可得\(g(x)= - g(-x)=-( - x + 1)=x - 1\)。
函数的中心对称和轴对称在概念本质、函数性质体现、图象特征、函数变换中的表现以及解题应用等方面都存在着明显的区别,理解这些区别对于深入学习函数知识、解决函数相关问题具有重要意义。
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