本文目录导读：
《函数对称轴对称中心例题解析》
函数对称轴的概念与性质
1、二次函数对称轴
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- 对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)\)，其对称轴公式为\(x =-\frac{b}{2a}\)，二次函数\(y = 2x^{2}-4x + 1\)，(a = 2\)，\(b=-4\)，根据对称轴公式可得对称轴为\(x =-\frac{-4}{2\times2}=1\)。
- 从图像上看，二次函数的图像是一条抛物线，对称轴将抛物线分成完全对称的两部分，当\(a>0\)时，抛物线开口向上，对称轴左侧函数单调递减，右侧单调递增；当\(a <0\)时，抛物线开口向下，对称轴左侧函数单调递增，右侧单调递减。
2、三角函数对称轴
- 对于正弦函数\(y=\sin x\)，其对称轴方程为\(x = k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)，当\(k = 0\)时，对称轴为\(x=\frac{\pi}{2}\)，(\sin\frac{\pi}{2}=1\)，在对称轴两侧函数值关于对称轴对称。
- 余弦函数\(y = \cos x\)的对称轴方程为\(x=k\pi(k\in Z)\)，当\(k = 1\)时，对称轴为\(x=\pi\)，\(\cos\pi=-1\)。
函数对称中心的概念与性质
1、正切函数对称中心
- 正切函数\(y=\tan x\)的对称中心为\((\frac{k\pi}{2},0)(k\in Z)\)，因为正切函数\(y = \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)，\(\cos x = 0\)时函数无定义，且在这些点的两侧函数图象关于点\((\frac{k\pi}{2},0)\)对称，当\(k = 1\)时，对称中心为\((\frac{\pi}{2},0)\)。
2、函数\(y = f(x)\)对称中心的一般求法
- 若函数\(y = f(x)\)满足\(f(x)+f(2a - x)=2b\)，则函数\(y = f(x)\)的对称中心为\((a,b)\)，对于函数\(f(x)=\frac{1}{x - 1}+1\)，假设其对称中心为\((a,b)\)，则\(f(x)+f(2a - x)=\frac{1}{x - 1}+1+\frac{1}{2a - x - 1}+1\)，通过化简\(\frac{1}{x - 1}+\frac{1}{2a - x - 1}+2=\frac{2a - 2}{(x - 1)(2a - x - 1)}+2\)，令\(2a - 2 = 0\)，即\(a = 1\)，(b = 1\)，所以函数\(f(x)\)的对称中心为\((1,1)\)。
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例题讲解
1、例题1：求函数\(y = 3x^{2}-6x + 5\)的对称轴和顶点坐标
- 对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)，这里\(a = 3\)，\(b=-6\)，根据对称轴公式\(x =-\frac{b}{2a}\)，可得对称轴为\(x =-\frac{-6}{2\times3}=1\)。
- 然后将\(x = 1\)代入函数\(y = 3x^{2}-6x + 5\)中，得到\(y=3\times1^{2}-6\times1 + 5=3 - 6+5 = 2\)，所以顶点坐标为\((1,2)\)。
2、例题2：已知函数\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)，求其对称轴方程
- 对于函数\(y=\sin(ax + b)\)，其对称轴方程为\(ax + b=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)。
- 在函数\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)中，令\(2x-\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)，解这个方程：
- 首先将\(2x-\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}\)移项得到\(2x=k\pi+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{5\pi}{6}\)。
- 然后解得\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12}(k\in Z)\)，这就是函数\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)的对称轴方程。
3、例题3：判断函数\(y=\frac{2x}{x + 1}\)是否有对称中心，如果有，求出对称中心
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- 设函数\(y=\frac{2x}{x + 1}\)的对称中心为\((a,b)\)，则\(f(x)+f(2a - x)=2b\)。
- \(f(x)=\frac{2x}{x + 1}\)，\(f(2a - x)=\frac{2(2a - x)}{2a - x+1}\)。
- 则\(f(x)+f(2a - x)=\frac{2x}{x + 1}+\frac{2(2a - x)}{2a - x + 1}\)，通分得到\(\frac{2x(2a - x + 1)+2(2a - x)(x + 1)}{(x + 1)(2a - x + 1)}\)。
- 化简分子：\(2x(2a - x + 1)+2(2a - x)(x + 1)=4ax+4a\)。
- 令\(4a = 0\)，得\(a = 0\)，(b = 0\)，所以函数\(y=\frac{2x}{x + 1}\)的对称中心为\((0,0)\)。
函数的对称轴和对称中心在函数的研究中具有重要意义，它们有助于我们更好地理解函数的性质，如单调性、奇偶性等，并且在解决函数相关的最值、方程等问题时也经常会用到。
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