本文目录导读：
《探究函数对称中心：性质、推导与深入理解》
函数对称中心的定义
在函数图像的研究中，对称中心是一个非常重要的概念，对于函数\(y = f(x)\)，如果存在点\((a,b)\)，使得对于函数定义域内的任意\(x\)，都有\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)成立，那么点\((a,b)\)就被称为函数\(y = f(x)\)的对称中心。
从几何意义上讲，函数图像关于点\((a,b)\)对称，意味着如果把函数图像绕着点\((a,b)\)旋转\(180^{\circ}\)，旋转后的图像与原图像完全重合。
函数对称中心的性质
（一）奇函数的对称中心
图片来源于网络，如有侵权联系删除
1、特殊情况：奇函数是一种特殊的具有对称中心的函数，对于奇函数\(y = f(x)\)，满足\(f(-x)=-f(x)\)，其对称中心为原点\((0,0)\)。
- 推导：令\(a = 0\)，\(b = 0\)，则\(f(0 + x)+f(0 - x)=f(x)+f(-x)\)，因为\(f(-x)=-f(x)\)，(f(x)+f(-x)=0 = 2\times0\)，满足对称中心的定义。
2、一般情况：如果函数\(y = f(x)\)的图像关于点\((a,0)\)对称，且\(f(x)\)的定义域关于\(x = a\)对称，(f(x)+f(2a - x)=0\)。
- 推导：因为点\((a,0)\)是对称中心，根据定义\(f(a + x)+f(a - x)=2\times0 = 0\)，令\(x=a - t\)，则\(f(a+(a - t))+f(a-(a - t))=0\)，即\(f(2a - t)+f(t)=0\)，也就是\(f(x)+f(2a - x)=0\)。
（二）函数平移与对称中心的关系
1、若函数\(y = f(x)\)的对称中心为\((a,b)\)，将函数图像向上平移\(m\)个单位，向右平移\(n\)个单位后，得到函数\(y=f(x - n)+m\)，其对称中心变为\((a + n,b + m)\)。
- 推导：对于原函数\(y = f(x)\)，有\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)，对于平移后的函数\(y=f(x - n)+m\)，令\(X=x - n\)，则\(f(a + n+X)+f(a + n - X)=2b\)，即\(f((a + n)+(x - n))+f((a + n)-(x - n))=2b\)，\(y=f(x - n)+m\)满足\([f((a + n)+(x - n))+m]+[f((a + n)-(x - n))+m]=2(b + m)\)，所以对称中心变为\((a + n,b + m)\)。
常见函数对称中心的推导
（一）三次函数\(y=ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)（\(a\neq0\)）
1、对于三次函数\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)，我们先对其求导\(y'=3ax^{2}+2bx + c\)，再求二阶导数\(y'' = 6ax+2b\)。
图片来源于网络，如有侵权联系删除
- 令\(y'' = 0\)，解得\(x =-\frac{b}{3a}\)，将\(x =-\frac{b}{3a}\)代入原函数\(y=ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)可得\(y=a(-\frac{b}{3a})^{3}+b(-\frac{b}{3a})^{2}+c(-\frac{b}{3a})+d\)。
- 经过化简计算可得对称中心为\((-\frac{b}{3a}, f(-\frac{b}{3a}))\)。
2、推导过程：设三次函数\(y = f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)的对称中心为\((m,n)\)，根据对称中心的定义\(f(m + x)+f(m - x)=2n\)。
- 将\(f(m + x)=a(m + x)^{3}+b(m + x)^{2}+c(m + x)+d\)和\(f(m - x)=a(m - x)^{3}+b(m - x)^{2}+c(m - x)+d\)展开并相加。
- 得到\(f(m + x)+f(m - x)=2am^{3}+6amx^{2}+2bm^{2}+2bx^{2}+2cm + 2d\)。
- 因为对于任意\(x\)都成立，(6am+2b = 0\)，解得\(m =-\frac{b}{3a}\)，再代入求出\(n=f(-\frac{b}{3a})\)。
（二）分式函数\(y=\frac{ax + b}{cx + d}\)（\(c\neq0\)，\(ad - bc\neq0\)）
1、首先将函数\(y=\frac{ax + b}{cx + d}\)进行变形，\(y=\frac{\frac{a}{c}(cx + d)+b-\frac{ad}{c}}{cx + d}=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx + d}\)。
- 函数\(y=\frac{1}{x}\)的对称中心为\((0,0)\)，对于函数\(y=\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx + d}\)，它是由\(y=\frac{1}{x}\)经过伸缩和平移得到的。
图片来源于网络，如有侵权联系删除
- 令\(cx + d = 0\)，解得\(x =-\frac{d}{c}\)，当\(x =-\frac{d}{c}\)时，\(y=\frac{a}{c}\)。
- 所以函数\(y=\frac{ax + b}{cx + d}\)的对称中心为\((-\frac{d}{c},\frac{a}{c})\)。
2、推导：设对称中心为\((m,n)\)，根据\(f(m + x)+f(m - x)=2n\)。
- 将\(f(x)=\frac{ax + b}{cx + d}\)代入\(f(m + x)+f(m - x)\)并化简，得到一个关于\(x\)的表达式。
- 令表达式中\(x\)的系数为\(0\)，可求出\(m =-\frac{d}{c}\)，再代入求出\(n=\frac{a}{c}\)。
函数对称中心在函数的分析、图像绘制以及解决一些复杂的函数问题中都有着重要的作用，通过深入研究函数对称中心的性质和推导过程，我们能够更好地把握函数的特征，为进一步学习和研究函数相关知识奠定坚实的基础。
评论列表