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三次函数图像怎么证明是中心对称图形,三次函数图像怎么证明是中心对称

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《三次函数中心对称的证明:深入探究三次函数图像的对称之美》

一、三次函数的一般形式及初步分析

三次函数的一般形式为\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)(\(a\neq0\)),为了探究其中心对称的性质,我们可以先对函数进行求导。

三次函数图像怎么证明是中心对称图形,三次函数图像怎么证明是中心对称

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1、求导

- 对\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)求导,根据求导公式\((X^{n})^\prime=nX^{n - 1}\),可得\(y^\prime=3ax^{2}+2bx + c\)。

- 再求一次导,\(y^{\prime\prime}=6ax+2b\),令\(y^{\prime\prime}=0\),解得\(x =-\frac{b}{3a}\)。

2、特殊点的意义

- 这个\(x =-\frac{b}{3a}\)的点对于三次函数有着特殊的意义,我们将\(x =-\frac{b}{3a}\)代入原三次函数\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)中,得到\(y=a(-\frac{b}{3a})^{3}+b(-\frac{b}{3a})^{2}+c(-\frac{b}{3a})+d\)。

- 化简这个式子可以帮助我们找到函数图像上一个特殊的点,这个点与中心对称有着密切的联系。

- 经过化简可得\(y=-\frac{b^{3}}{27a^{2}}+\frac{b^{3}}{9a^{2}}-\frac{bc}{3a}+d=\frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{bc}{3a}+d\)

二、证明三次函数的中心对称

1、设点法

- 设三次函数\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)上任意一点\(P(x_{0},y_{0})\),则\(y_{0}=ax_{0}^{3}+bx_{0}^{2}+cx_{0}+d\)。

- 设点\(P\)关于点\((-\frac{b}{3a},m)\)(\(m=\frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{bc}{3a}+d\))的对称点为\(Q(x,y)\)。

- 根据中点坐标公式,对于两点\((x_{1},y_{1})\)和\((x_{2},y_{2})\),中点坐标为\((\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)。

- 则有\(\frac{x_{0}+x}{2}=-\frac{b}{3a}\),解得\(x=- \frac{2b}{3a}-x_{0}\);\(\frac{y_{0}+y}{2}=m\),解得\(y = 2m - y_{0}\)。

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2、代入验证

- 将\(x=- \frac{2b}{3a}-x_{0}\)代入三次函数\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)中,得到:

\(y=a(-\frac{2b}{3a}-x_{0})^{3}+b(-\frac{2b}{3a}-x_{0})^{2}+c(-\frac{2b}{3a}-x_{0})+d\)

- 展开并化简这个式子:

\[

\begin{align*}

y&=a(-\frac{8b^{3}}{27a^{3}}-\frac{12b^{2}x_{0}}{9a^{2}}-\frac{6bx_{0}^{2}}{3a}-x_{0}^{3})+b(\frac{4b^{2}}{9a^{2}}+\frac{4bx_{0}}{3a}+x_{0}^{2})+c(-\frac{2b}{3a}-x_{0})+d\\

&=-\frac{8b^{3}}{27a^{2}}-\frac{12b^{2}x_{0}}{9a}-\frac{6bx_{0}^{2}}{3}-ax_{0}^{3}+\frac{4b^{3}}{9a^{2}}+\frac{4b^{2}x_{0}}{3a}+bx_{0}^{2}-\frac{2bc}{3a}-cx_{0}+d\\

&=-ax_{0}^{3}-bx_{0}^{2}-cx_{0}+2m - y_{0}

\end{align*}

\]

- 因为\(y_{0}=ax_{0}^{3}+bx_{0}^{2}+cx_{0}+d\),(y = 2m - y_{0}\),这就说明点\(Q(x,y)\)也在三次函数\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)上。

- 由于\(P(x_{0},y_{0})\)是三次函数\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)上的任意一点,所以三次函数\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)的图像关于点\((-\frac{b}{3a},\frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{bc}{3a}+d)\)中心对称。

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三、中心对称性质在解题和图像分析中的应用

1、图像绘制

- 知道三次函数是中心对称图形后,在绘制三次函数图像时,我们只需要准确绘制出函数在中心对称点一侧的图像,然后根据中心对称的性质就可以得到另一侧的图像。

- 当\(a>0\)时,三次函数在\(x\to-\infty\)时\(y\to-\infty\),在\(x\to+\infty\)时\(y\to+\infty\),通过找到中心对称点,我们可以更好地把握函数的增减性和极值点的分布。

2、方程求解

- 在求解一些三次方程\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)时,利用中心对称的性质也可能会简化问题。

- 因为如果我们知道了函数的中心对称点,并且找到了函数在对称点一侧的零点,那么根据中心对称的性质就可以推断出另一侧的零点情况。

3、函数性质研究

- 对于三次函数的单调性、极值等性质的研究,中心对称点也起到了重要的作用。

- 函数在中心对称点两侧的单调性往往有着一定的对称关系,通过分析中心对称点一侧的单调性,我们可以快速得到另一侧的单调性情况。

我们通过设点、利用中点坐标公式和代入验证等方法,证明了三次函数是中心对称图形,并且阐述了其中心对称性质在图像绘制、方程求解和函数性质研究等方面的应用,这有助于我们更深入地理解三次函数的本质和特性。

标签: #中心对称 #证明 #图像

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