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《探究高中数学中的中心对称函数：性质、应用与实例》
中心对称的概念
在高中数学中，中心对称是一种重要的几何变换，对于平面内的一个点$O$，如果一个图形绕着点$O$旋转$180^{\circ}$后能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于点$O$中心对称，点$O$称为对称中心。
从函数的角度来看，对于函数$y = f(x)$的图象，如果存在一个点$(a,b)$，使得函数图象上任意一点$(x,y)$关于点$(a,b)$的对称点$(2a - x,2b - y)$也在函数图象上，那么函数$y = f(x)$的图象关于点$(a,b)$中心对称。
中心对称函数的性质
（一）奇函数是特殊的中心对称函数
奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，其图象关于原点$(0,0)$中心对称，函数$y = x^3$，对于任意的$x$，有$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$，从图象上看，当我们将函数$y = x^3$的图象绕原点旋转$180^{\circ}$时，图象完全重合。
（二）函数图象平移与中心对称的关系
如果函数$y = f(x)$的图象关于点$(a,b)$中心对称，那么将函数图象向左平移$a$个单位，再向上平移$b$个单位后，得到的新函数$y = f(x + a)+b$的图象关于原点中心对称，反之，如果一个函数$y = f(x)$的图象经过平移后关于原点中心对称，那么原函数图象关于某个点中心对称。
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中心对称函数的判定方法
（一）利用定义判定
设函数$y = f(x)$，若能找到一个点$(a,b)$，使得对于函数定义域内的任意$x$，都有$2b - f(x)=f(2a - x)$，则函数$y = f(x)$的图象关于点$(a,b)$中心对称，对于函数$y=\frac{1}{x - 1}+1$，我们假设它关于点$(a,b)$中心对称。
根据定义有：$2b-\left(\frac{1}{x - 1}+1\right)=\frac{1}{2a - x - 1}+1$，通过化简和求解这个等式可以确定是否存在这样的点$(a,b)$。
（二）利用函数的特殊性质判定
1、如果函数是由一些已知中心对称函数经过四则运算得到的，我们可以根据已知函数的中心对称性质来判断，两个关于点$(a,b)$和$(c,d)$中心对称的函数相加得到的新函数的中心对称点可以通过一定的计算得到。
2、对于一些具有周期性和对称性的函数，如三角函数，函数$y = \sin x$是奇函数，关于原点$(0,0)$中心对称，而函数$y=\sin(x - \frac{\pi}{2})=-\cos x$的图象是将$y = \sin x$的图象向右平移$\frac{\pi}{2}$个单位得到的，其图象关于点$(\frac{\pi}{2}, 0)$中心对称。
中心对称函数在解题中的应用
（一）求值问题
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已知函数$y = f(x)$关于点$(a,b)$中心对称，且知道函数在某一点的值，就可以求出其关于对称中心对称点的值，已知函数$y = f(x)$关于点$(1,2)$中心对称，且$f(3)=4$，那么根据中心对称的性质，点$(3,4)$关于点$(1,2)$的对称点为$(-1,0)$，f(-1)=0$。
（二）函数图象的绘制
在绘制一些复杂函数的图象时，如果能确定函数的中心对称点，就可以先绘制出函数图象的一部分，然后根据中心对称的性质得到整个函数的图象，对于函数$y=\frac{2x - 1}{x - 1}=2+\frac{1}{x - 1}$，它的图象是由$y=\frac{1}{x}$的图象经过平移得到的，其中心对称点为$(1,2)$，我们可以先绘制出$y=\frac{1}{x}$在某一区间的图象，然后根据平移和中心对称的性质得到$y=\frac{2x - 1}{x - 1}$的图象。
（三）解决不等式问题
利用函数的中心对称性质，可以将不等式中的函数值转化为对称点的函数值，从而简化不等式的求解，已知函数$y = f(x)$关于点$(a,b)$中心对称，要解不等式$f(x)>m$，我们可以先找到与$x$关于点$(a,b)$对称的点$x'$，然后根据函数的单调性等性质来求解不等式。
在高中数学的学习中，深入理解中心对称函数的概念、性质、判定方法以及应用，有助于提高我们解决函数相关问题的能力，并且能够加深对函数图象和性质的全面认识。
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