函数轴对称和中心对称的证明方法
一、函数轴对称的证明
1、定义回顾
- 若函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)对称，则对于任意的\(x\)，都有\(f(a + x)=f(a - x)\)。
图片来源于网络，如有侵权联系删除
2、证明步骤
- 设函数\(y = f(x)\)，要证明其图象关于直线\(x = a\)对称。
- 任取\(x\)属于函数\(y = f(x)\)的定义域\(D\)。
- 计算\(f(a + x)\)和\(f(a - x)\)。
- 对于函数\(f(x)=\cos x\)，要证明它关于\(x = k\pi(k\in Z)\)对称。
- 任取\(x\in R\)，\(f(k\pi + x)=\cos(k\pi + x)\)，\(f(k\pi - x)=\cos(k\pi - x)\)。
- 当\(k\)为偶数时，设\(k = 2n(n\in Z)\)，\(f(2n\pi+x)=\cos x\)，\(f(2n\pi - x)=\cos(-x)=\cos x\)，(f(2n\pi + x)=f(2n\pi - x)\)。
- 当\(k\)为奇数时，设\(k = 2n + 1(n\in Z)\)，\(f((2n + 1)\pi+x)=\cos((2n + 1)\pi+x)=-\cos x\)，\(f((2n+1)\pi - x)=\cos((2n + 1)\pi - x)=-\cos x\)，(f((2n + 1)\pi+x)=f((2n + 1)\pi - x)\)。
- 一般地，如果通过计算得到\(f(a + x)=f(a - x)\)对于定义域内任意\(x\)都成立，那么函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)对称。
3、利用函数图象上的点的关系证明
- 设点\(P(x,y)\)在函数\(y = f(x)\)的图象上，若函数图象关于直线\(x = a\)对称，则点\(P\)关于直线\(x = a\)的对称点\(P'(2a - x,y)\)也在函数图象上。
- 即\(y = f(x)\)且\(y=f(2a - x)\)，从而\(f(x)=f(2a - x)\)，这与\(f(a + x)=f(a - x)\)是等价的（令\(x=a - t\)，则\(f(a+(a - t))=f(a-(a - t))\)，即\(f(2a - t)=f(t)\)）。
4、二次函数对称轴的证明示例
图片来源于网络，如有侵权联系删除
- 对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)\)，其对称轴为\(x =-\frac{b}{2a}\)。
- 任取\(x\)，\(f\left(-\frac{b}{2a}+x\right)=a\left(-\frac{b}{2a}+x\right)^{2}+b\left(-\frac{b}{2a}+x\right)+c\)
- 展开得\(a\left(\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{bx}{a}+x^{2}\right)-\frac{b^{2}}{2a}+bx + c=\frac{ab^{2}}{4a^{2}}-\frac{bx}{a}+ax^{2}-\frac{b^{2}}{2a}+bx + c\)
- \(f\left(-\frac{b}{2a}-x\right)=a\left(-\frac{b}{2a}-x\right)^{2}+b\left(-\frac{b}{2a}-x\right)+c\)
- 展开得\(a\left(\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{bx}{a}+x^{2}\right)-\frac{b^{2}}{2a}-bx + c=\frac{ab^{2}}{4a^{2}}+\frac{bx}{a}+ax^{2}-\frac{b^{2}}{2a}-bx + c\)
- 经过化简可以发现\(f\left(-\frac{b}{2a}+x\right)=f\left(-\frac{b}{2a}-x\right)\)，从而证明了二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)的图象关于直线\(x =-\frac{b}{2a}\)对称。
二、函数中心对称的证明
1、定义回顾
- 若函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)中心对称，则对于任意的\(x\)，都有\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)。
2、证明步骤
- 设函数\(y = f(x)\)，要证明其图象关于点\((a,b)\)中心对称。
- 任取\(x\)属于函数\(y = f(x)\)的定义域\(D\)。
- 计算\(f(a + x)\)和\(f(a - x)\)，然后验证\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)是否成立。
图片来源于网络，如有侵权联系删除
- 对于函数\(y = \sin x\)，要证明它关于点\((k\pi,0)(k\in Z)\)中心对称。
- 任取\(x\in R\)，\(f(k\pi + x)=\sin(k\pi + x)\)，\(f(k\pi - x)=\sin(k\pi - x)\)。
- 当\(k\)为偶数时，设\(k = 2n(n\in Z)\)，\(f(2n\pi+x)=\sin x\)，\(f(2n\pi - x)=\sin(-x)=-\sin x\)，\(f(2n\pi + x)+f(2n\pi - x)=\sin x+(-\sin x)=0\)。
- 当\(k\)为奇数时，设\(k = 2n + 1(n\in Z)\)，\(f((2n + 1)\pi+x)=\sin((2n + 1)\pi+x)=-\sin x\)，\(f((2n + 1)\pi - x)=\sin((2n + 1)\pi - x)=\sin x\)，\(f((2n + 1)\pi+x)+f((2n + 1)\pi - x)=-\sin x+\sin x = 0\)。
- 一般地，如果通过计算得到\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)对于定义域内任意\(x\)都成立，那么函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)中心对称。
3、利用函数图象上的点的关系证明
- 设点\(P(x,y)\)在函数\(y = f(x)\)的图象上，若函数图象关于点\((a,b)\)中心对称，则点\(P\)关于点\((a,b)\)的对称点\(P'(2a - x,2b - y)\)也在函数图象上。
- 即\(y = f(x)\)且\(2b - y=f(2a - x)\)，移项可得\(f(x)+f(2a - x)=2b\)，这与\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)是等价的（令\(x=a - t\)，则\(f(a+(a - t))+f(a-(a - t))=2b\)，即\(f(2a - t)+f(t)=2b\)）。
4、奇函数中心对称的证明示例
- 对于奇函数\(y = f(x)\)，有\(f(-x)=-f(x)\)，其图象关于原点\((0,0)\)中心对称。
- 任取\(x\)属于函数\(y = f(x)\)的定义域\(D\)，\(f(x)+f(-x)=f(x)+(-f(x)) = 0\)，满足\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)（这里\(a = 0,b = 0\)），所以奇函数的图象关于原点中心对称。
评论列表