《探究函数关于某点中心对称性质及其应用》
一、函数关于某点中心对称的定义与性质
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1、定义
- 设函数\(y = f(x)\)的定义域为\(D\)，如果存在点\((a,b)\)，使得对于任意的\(x\in D\)，都有\(2a - x\in D\)，且\(f(2a - x)+f(x)=2b\)，那么就称函数\(y = f(x)\)关于点\((a,b)\)中心对称，当\(b = 0\)时，函数\(y = f(x)\)关于点\((a,0)\)中心对称，(f(2a - x)= - f(x)\)。
2、性质
- 图象性质
- 若函数\(y = f(x)\)关于点\((a,b)\)中心对称，则其图象绕点\((a,b)\)旋转\(180^{\circ}\)后与原图象重合，对于函数\(y=\sin x\)，它是关于点\((k\pi,0)\)，\(k\in Z\)中心对称的函数，其图象在这些对称中心处有特殊的性质，如在\((0,0)\)点，当\(x\)在\(0\)附近取值时，函数值关于\(0\)对称变化。
- 函数值性质
- 设\(P(x,f(x))\)是函数\(y = f(x)\)图象上的一点，若函数\(y = f(x)\)关于点\((a,b)\)中心对称，则点\(P\)关于点\((a,b)\)的对称点\(P'(2a - x,2b - f(x))\)也在函数\(y = f(x)\)的图象上，这一性质可以用于通过已知点的函数值求其对称点的函数值，已知函数\(y = f(x)\)关于点\((1,2)\)中心对称，且\(f(3)=4\)，那么根据性质可得\(f(- 1)=0\)，因为\(2\times1 - 3=-1\)，\(2\times2 - 4 = 0\)。
- 函数运算性质
- 若函数\(y = f(x)\)和\(y = g(x)\)都关于点\((a,b)\)中心对称，则函数\(y = f(x)+g(x)\)也关于点\((a,b)\)中心对称，证明如下：设\(h(x)=f(x)+g(x)\)，对于任意\(x\in D\)，因为\(f(2a - x)+f(x)=2b\)，\(g(2a - x)+g(x)=2b\)，(h(2a - x)=f(2a - x)+g(2a - x)=2b - f(x)+2b - g(x)=2b-(f(x)+g(x)) = 2b - h(x)\)，即\(h(x)\)关于点\((a,b)\)中心对称。
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二、利用函数关于某点中心对称的性质求函数表达式
1、已知对称中心求函数表达式
- 已知函数\(y = f(x)\)关于点\((1,2)\)中心对称，设\(y = f(x)\)上一点\((x,y)\)，其关于\((1,2)\)的对称点\((2 - x,4 - y)\)也在函数图象上，如果我们知道函数的一些其他性质，如函数为一次函数\(y=kx + c\)，将\((x,y)\)和\((2 - x,4 - y)\)代入可得\(y=kx + c\)和\(4 - y=k(2 - x)+c\)，将第一个式子\(y = kx + c\)代入第二个式子得\(4-(kx + c)=k(2 - x)+c\)，展开可得\(4 - kx - c=2k - kx + c\)，即\(2c = 4 - 2k\)，\(c = 2 - k\)，再根据其他条件（如函数过某一点）就可以确定\(k\)的值，从而确定函数表达式。
2、未知对称中心求对称中心及函数表达式
- 对于一些复杂函数，我们可以通过函数值的关系来确定对称中心，对于函数\(y = f(x)\)，如果满足\(f(x)+f(2a - x)=2b\)恒成立，((a,b)\)就是函数的对称中心，假设我们有函数\(y=\frac{1}{x + 1}+\frac{1}{3 - x}\)，我们令\(x\)和\(2a - x\)代入函数表达式，然后根据\(f(x)+f(2a - x)=2b\)来求解\(a\)和\(b\)的值。
- 设\(x\)代入函数得\(y_1=\frac{1}{x + 1}+\frac{1}{3 - x}\)，\(2a - x\)代入得\(y_2=\frac{1}{2a - x+ 1}+\frac{1}{3-(2a - x)}\)，将\(y_1 + y_2 = 2b\)化简求解，通过通分\(y_1=\frac{(3 - x)+(x + 1)}{(x + 1)(3 - x)}=\frac{4}{(x + 1)(3 - x)}\)，\(y_2=\frac{1}{2a - x+ 1}+\frac{1}{x + 3 - 2a}\)，\(y_2=\frac{(x + 3 - 2a)+(2a - x + 1)}{(2a - x+ 1)(x + 3 - 2a)}=\frac{4}{(2a - x+ 1)(x + 3 - 2a)}\)。
- 令\(y_1 + y_2 = 2b\)，即\(\frac{4}{(x + 1)(3 - x)}+\frac{4}{(2a - x+ 1)(x + 3 - 2a)}=2b\)，要使该式对于任意\(x\)成立，通过分析分母的关系可得\(a = 1\)，再代入求出\(b = 2\)，所以函数\(y=\frac{1}{x + 1}+\frac{1}{3 - x}\)关于点\((1,2)\)中心对称。
三、函数关于某点中心对称性质在解题中的应用
1、求值问题
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- 在一些求值问题中，利用函数的中心对称性质可以简化计算，已知函数\(y = f(x)\)关于点\((2,3)\)中心对称，且\(f(5)=7\)，要求\(f(-1)\)的值，根据中心对称性质\(f(2\times2 - 5)+f(5)=2\times3\)，即\(f(-1)+7 = 6\)，(f(-1)= - 1\)。
2、函数图象变换问题
- 在函数图象变换中，如果已知函数\(y = f(x)\)关于某点中心对称，那么在进行平移、伸缩等变换后，对称中心也会相应地发生变化，函数\(y = f(x)\)关于点\((a,b)\)中心对称，将函数图象向右平移\(m\)个单位，向上平移\(n\)个单位后，新函数\(y = f(x - m)+n\)关于点\((a + m,b + n)\)中心对称，这一性质在研究函数图象的综合变换时非常有用，可以帮助我们快速确定变换后函数的对称中心。
3、证明函数性质问题
- 在证明一些函数的性质时，函数关于某点中心对称的性质也可以作为重要的工具，要证明两个函数的和函数的某种性质，若已知这两个函数分别关于某点中心对称，利用函数关于某点中心对称时函数和的性质就可以进行证明。
函数关于某点中心对称的性质在函数的研究、求值、图象变换以及性质证明等方面都有着广泛的应用，深入理解和掌握这些性质有助于我们更好地解决函数相关的各种问题。
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