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《数据库关系运算全解析》
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在数据库领域，关系运算有着举足轻重的地位，关系运算主要包括以下几类：
传统的集合运算
1、并（Union）运算
- 定义：设关系R和关系S具有相同的目n（即两个关系都有n个属性），且相应的属性取自同一个域，则关系R与关系S的并由属于R或属于S的元组组成。
- 有一个学生关系R包含学生甲、乙、丙的信息，另一个学生关系S包含学生丙、丁、戊的信息，R和S进行并运算后得到的关系包含学生甲、乙、丙、丁、戊的信息，这里要求关系R和S的结构相同，即属性的个数、名称和域都相同。
2、差（Difference）运算
- 定义：设关系R和关系S具有相同的目n，且相应的属性取自同一个域，则关系R与关系S的差由属于R但不属于S的元组组成。
- 继续以上面的学生关系为例，R - S得到的关系包含学生甲、乙的信息，因为丙在S中，所以被排除，差运算在数据库中可用于找出在一个关系中有而在另一个关系中没有的信息，例如找出只参加了某一个课程而没有参加另一个课程的学生。
3、交（Intersection）运算
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- 定义：设关系R和关系S具有相同的目n，且相应的属性取自同一个域，则关系R与关系S的交由既属于R又属于S的元组组成。
- 对于前面的学生关系，R ∩ S得到的关系只包含学生丙的信息，交运算可以用于找出两个关系中的共同元素，在数据库中常用于筛选出同时满足多种条件的记录，如找出既参加了数学竞赛又参加了物理竞赛的学生。
4、笛卡尔积（Cartesian Product）运算
- 定义：设关系R为m元关系，关系S为n元关系，则R与S的笛卡尔积是一个m + n元关系，其中元组的前m个分量是R的一个元组，后n个分量是S的一个元组。
- 关系R有2个元组{(a, 1), (b, 2)}，关系S有3个元组{(x, 10), (y, 20), (z, 30)}，则R×S得到6个元组{(a, 1, x, 10), (a, 1, y, 20), (a, 1, z, 30), (b, 2, x, 10), (b, 2, y, 20), (b, 2, z, 30)}，笛卡尔积运算在数据库中是其他复杂运算的基础，但由于其结果集可能非常庞大，在实际应用中通常会结合其他条件进行筛选。
专门的关系运算
1、选择（Selection）运算
- 定义：选择运算也称为限制（Restriction）运算，它是根据某些条件对关系进行水平分割，即从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组。
- 在一个学生成绩关系中，如果要找出成绩大于90分的学生记录，就可以通过选择运算，以“成绩>90”为条件进行筛选，选择运算的结果关系与原关系具有相同的结构，但元组数量可能减少。
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2、投影（Projection）运算
- 定义：投影运算是对关系进行垂直分割，它从关系R中选取若干属性列组成新的关系。
- 在一个包含学生姓名、年龄、成绩等属性的学生关系中，如果只关心学生的姓名和成绩，就可以通过投影运算选取姓名和成绩这两个属性列来形成一个新的关系，投影运算可以改变关系的结构，减少数据的冗余。
3、连接（Join）运算
- 定义：连接运算是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。
- 自然连接（Natural Join）是一种特殊的连接运算，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉，有一个学生关系包含学生编号、姓名等属性，另一个选课关系包含学生编号、课程编号等属性，通过自然连接可以得到包含学生编号、姓名、课程编号等信息的关系，显示出每个学生选了哪些课程，还有θ连接（Theta Join），它是通过一个比较运算符θ（如=、>、<等）来连接两个关系中的元组。
这些关系运算在数据库的查询、数据处理、数据挖掘等方面有着广泛的应用，是数据库管理系统实现数据操作的重要理论基础。
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