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《混合计算与脱式计算:深入剖析两者的区别》
在数学运算领域,混合计算和脱式计算是两种常见的计算方式,它们虽然存在一定的联系,但也有着诸多区别。
概念内涵
1、混合计算
- 混合计算是指包含多种运算符号(如加、减、乘、除,有时还包括括号等改变运算顺序的符号)的数学式子的计算,\(3 + 4×(5 - 2)\)就是一个混合计算的式子,它强调的是式子本身的运算种类的混合性,在混合计算中,运算顺序遵循一定的规则,先算乘除后算加减,有括号先算括号里面的内容,这种计算方式是对数学运算规则综合运用的体现,旨在准确求出式子的结果。
2、脱式计算
- 脱式计算是一种书写计算过程的格式,它将计算过程完整地写出来,按照运算顺序逐步进行计算,例如对于式子\(3 + 4×(5 - 2)\),脱式计算的过程为:
\[
\begin{align*}
&3+4×(5 - 2)\\
=&3+4×3\\
=&3 + 12\\
=&15
\end{align*}
\]
- 脱式计算注重的是计算过程的呈现,通过逐步书写每一步的计算结果,使得计算过程清晰、有条理,便于检查和理解。
运算顺序的体现
1、混合计算中的运算顺序隐含性
- 在混合计算中,运算顺序是式子本身所蕴含的规则,例如式子\(20÷5+3×2\),我们根据先乘除后加减的规则知道要先计算\(20÷5 = 4\)和\(3×2 = 6\),然后再计算\(4+6 = 10\),但是在式子的原始呈现中,并没有明确地将计算步骤分开,运算顺序是需要计算者牢记于心并按照规则执行的。
2、脱式计算中的运算顺序显性化
- 脱式计算则是将运算顺序通过书写格式清晰地展示出来,每一步计算都是在前一步的基础上按照既定的运算顺序进行,如对于式子\(18 - 3×(4+2)\)的脱式计算:
\[
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\begin{align*}
&18-3×(4 + 2)\\
=&18-3×6\\
=&18 - 18\\
=&0
\end{align*}
\]
- 从这个过程可以看到,先计算括号内的加法\(4 + 2 = 6\),然后计算乘法\(3×6 = 18\),最后计算减法\(18-18 = 0\),每一步的运算顺序通过换行和逐步计算的方式明确地表现出来。
格式要求
1、混合计算格式相对灵活
- 混合计算如果只是单纯要求计算结果,式子可以紧凑地写在一起。(5×(3 + 2)-10\),在不需要展示计算过程时,可以直接按照运算顺序在脑海中计算得出结果\(5×5 - 10=25 - 10 = 15\),如果需要在混合计算式子旁边简单标注运算顺序也是可以的,但并没有严格的格式规定。
2、脱式计算格式严格
- 脱式计算有着严格的格式要求,通常等号要写在式子的下一行且对齐,每一步的计算结果都要写在等号后面。
\[
\begin{align*}
&45÷(9 - 4)+2×3\\
=&45÷5+2×3\\
=&9+6\\
=&15
\end{align*}
\]
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- 如果格式不规范,如等号没有对齐或者省略了某一步骤的书写,就会被视为计算过程不完整或者错误。
应用场景
1、混合计算在初步分析式子时的应用
- 在初步分析一个复杂的数学表达式时,我们首先将其看作是混合计算式子,确定其中包含的运算种类和可能需要遵循的运算顺序,例如在解决数学应用题时,列出的式子往往是混合计算式子,如“一个长方形的长是8厘米,宽是5厘米,它的周长比面积少多少?”根据长方形周长公式\(C=(a + b)×2\)(这里\(a = 8\),\(b = 5\)),面积公式\(S = a×b\),列出的式子为\(8×5-(8 + 5)×2\),这就是混合计算式子,在这个阶段我们关注的是式子的构建和运算关系。
2、脱式计算在详细展示计算过程时的应用
- 当需要详细展示计算过程时,就会用到脱式计算,比如在数学作业、考试答题或者向他人讲解计算过程时,脱式计算能够清晰地呈现每一步的运算逻辑,例如在教学过程中,教师为了让学生理解混合运算的顺序,会详细地用脱式计算展示\((12 + 8)÷5×3\)的计算过程:
\[
\begin{align*}
&(12 + 8)÷5×3\\
=&20÷5×3\\
=&4×3\\
=&12
\end{align*}
\]
- 这样学生可以清楚地看到先算括号内的加法,再算除法,最后算乘法的过程。
对计算能力和思维的要求
1、混合计算对运算规则记忆的要求
- 混合计算要求学生牢固记忆运算顺序的规则,能够准确判断式子中各种运算的先后顺序,在进行混合计算时,需要在脑海中快速规划计算步骤,例如对于式子\(72÷8+5×3 - 6\),学生要迅速确定先算除法\(72÷8 = 9\)和乘法\(5×3 = 15\),然后再按照顺序进行加法和减法运算,这需要学生对运算规则有深刻的记忆和快速的反应能力。
2、脱式计算对逻辑条理的要求
- 脱式计算不仅要求学生掌握运算顺序,更注重逻辑条理的展示,学生需要将每一步的计算过程清晰地写出来,这就要求他们在计算过程中有条不紊,能够准确地将上一步的结果运用到下一步计算中,例如在计算\((25 - 10)÷3+4×2\)时,脱式计算过程中的每一步都要严谨,从计算括号内的值,到除法、乘法,再到最后的加法,任何一步的逻辑混乱都会导致计算错误。
混合计算和脱式计算在概念、运算顺序体现、格式要求、应用场景以及对计算能力和思维的要求等方面都存在着明显的区别,在数学学习和实际应用中,理解这些区别有助于我们更好地进行数学运算、准确解题以及清晰地表达计算过程。
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