本文目录导读：
已知函数对称轴和对称中心求周期的方法
基本概念回顾
1、对称轴
- 对于函数\(y = f(x)\)，如果存在直线\(x = a\)，使得对于任意的\(x\)都有\(f(a + x)=f(a - x)\)，那么直线\(x = a\)就是函数\(y = f(x)\)的一条对称轴，从图象上看，函数图象关于直线\(x = a\)对称，对称轴两侧的图象在水平方向上到对称轴的距离相等时，函数值相等。
图片来源于网络，如有侵权联系删除
2、对称中心
- 若存在点\((b, c)\)，使得对于任意的\(x\)都有\(f(b + x)+f(b - x)=2c\)，当\(c = 0\)时，就有\(f(b + x)= - f(b - x)\)，对于函数\(y = f(x)\)，点\((b,0)\)就是函数的一个对称中心，从图象上看，函数图象关于点\((b,0)\)中心对称，对称中心两侧的图象在水平方向上到对称中心的距离相等时，函数值之和为\(0\)。
3、周期
- 对于函数\(y = f(x)\)，如果存在非零常数\(T\)，使得对于任意的\(x\)都有\(f(x+T)=f(x)\)，(T\)就是函数\(y = f(x)\)的一个周期。
对称轴与对称中心和周期的关系
1、相邻对称轴与对称中心
- 若函数\(y = f(x)\)的图象有一条对称轴\(x = a\)和一个对称中心\((b,0)\)，且\(a\neq b\)，当\(a\)与\(b\)相邻时（这里的相邻是指在函数图象的特征分布上是距离最近的对称轴和对称中心的关系），则函数\(y = f(x)\)的周期\(T = 4|a - b|\)。
- 证明如下：
- 因为\(x = a\)是对称轴，(f(a + x)=f(a - x)\)；又因为\((b,0)\)是对称中心，(f(b + x)= - f(b - x)\)。
图片来源于网络，如有侵权联系删除
- 令\(x=a - b\)，则\(f(a+(a - b))=f(a-(a - b))\)，即\(f(2a - b)=f(b)\)；(f(b+(a - b))=-f(b-(a - b))\)，即\(f(a)= - f(2b - a)\)。
- 由于\(f(x)\)的图象关于\(x = a\)对称，(f(x)\)在\(x = a\)两侧等距离的函数值相等，又因为\(f(x)\)的图象关于\((b,0)\)对称，(f(x)\)在\((b,0)\)两侧等距离的函数值互为相反数。
- 通过一系列的代换和推导可以得出\(f(x + 4(a - b))=f(x)\)，所以周期\(T = 4|a - b|\)。
2、多个对称轴或对称中心的情况
- 如果函数有多个对称轴\(x = a_{1},x = a_{2},\cdots\)和对称中心\((b_{1},0),(b_{2},0),\cdots\)。
- 先找出相邻的对称轴和对称中心，按照上述方法求出一个局部的周期\(T_{1}=4|a_{i}-b_{j}|\)（\(a_{i}\)和\(b_{j}\)是相邻的对称轴和对称中心对应的坐标），然后再检查整个函数的图象特征，看是否存在更小的周期重复单元，如果存在，则最小正周期就是这个最小的重复单元对应的周期；如果不存在，(T_{1}\)就是函数的最小正周期。
应用示例
1、例1
- 已知函数\(y = f(x)\)的图象有一条对称轴\(x = 2\)和一个对称中心\((3,0)\)，求函数\(y = f(x)\)的周期。
图片来源于网络，如有侵权联系删除
- 解：根据上述结论，因为对称轴\(x = 2\)和对称中心\((3,0)\)相邻，所以周期\(T = 4|2 - 3|=4\)。
2、例2
- 已知函数\(y = f(x)\)的图象有对称轴\(x=\frac{\pi}{2}\)和\(x = \pi\)，还有对称中心\((\frac{3\pi}{4},0)\)，求函数的周期。
- 首先看对称轴\(x=\frac{\pi}{2}\)和对称中心\((\frac{3\pi}{4},0)\)，它们相邻，根据公式可得\(T_{1}=4|\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{4}|=\pi\)。
- 再看对称轴\(x = \pi\)和对称中心\((\frac{3\pi}{4},0)\)，它们相邻时，\(T_{2}=4|\pi-\frac{3\pi}{4}|=\pi\)。
- 所以函数\(y = f(x)\)的周期为\(\pi\)。
在解决已知函数对称轴和对称中心求周期的问题时，关键是要准确判断对称轴和对称中心的相邻关系，然后正确运用周期公式进行计算，对于复杂的函数图象可能需要仔细分析多个对称轴和对称中心之间的关系来确定最小正周期。
评论列表