本文目录导读：
《函数对称轴与对称中心相关例题解析》
图片来源于网络，如有侵权联系删除
函数对称轴的概念与性质
1、二次函数对称轴
- 对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)\)，其对称轴公式为\(x =-\frac{b}{2a}\)，对于二次函数\(y = 2x^{2}- 4x+1\)，(a = 2\)，\(b=-4\)，根据对称轴公式可得对称轴为\(x =-\frac{-4}{2\times2}=1\)。
- 二次函数的图象关于其对称轴对称，当\(a>0\)时，图象开口向上，在对称轴左侧函数单调递减，在对称轴右侧函数单调递增；当\(a < 0\)时，图象开口向下，在对称轴左侧函数单调递增，在对称轴右侧函数单调递减。
2、三角函数对称轴
- 对于正弦函数\(y=\sin x\)，其对称轴方程为\(x = k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)，这是因为正弦函数的图象是周期为\(2\pi\)的波浪形曲线，在\(x = k\pi+\frac{\pi}{2}\)处取得最值\(\pm1\)，图象关于这些直线对称。
- 余弦函数\(y = \cos x\)的对称轴方程为\(x=k\pi(k\in Z)\)，因为余弦函数在\(x = k\pi\)处取得最值\(\pm1\)，其图象关于这些直线对称。
函数对称中心的概念与性质
1、反比例函数对称中心
- 反比例函数\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)的对称中心是坐标原点\((0,0)\)，从图象上看，反比例函数的图象是双曲线，关于原点对称，对于任意一点\((x,y)\)在反比例函数图象上，则\(( - x,-y)\)也在图象上。
2、正切函数对称中心
- 正切函数\(y=\tan x\)的对称中心为\((\frac{k\pi}{2},0)(k\in Z)\)，因为正切函数\(y = \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)，\(\cos x = 0\)时函数无定义，\(x=\frac{k\pi}{2}(k\in Z)\)，且正切函数图象以这些点为中心呈中心对称。
函数对称轴与对称中心相关例题
1、例题1：求函数\(y = 3\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)的对称轴和对称中心
求对称轴
图片来源于网络，如有侵权联系删除
- 对于正弦函数\(y = A\sin(\omega x+\varphi)\)，其对称轴方程为\(\omega x+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)。
- 在函数\(y = 3\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)中，令\(2x-\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)。
- 解这个方程：\(2x=k\pi+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{5\pi}{6}\)，则\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12}(k\in Z)\)，这就是函数的对称轴方程。
求对称中心
- 正弦函数\(y = A\sin(\omega x+\varphi)\)的对称中心满足\(\omega x+\varphi=k\pi(k\in Z)\)。
- 对于\(y = 3\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)，令\(2x-\frac{\pi}{3}=k\pi(k\in Z)\)。
- 解这个方程：\(2x=k\pi+\frac{\pi}{3}\)，即\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}(k\in Z)\)，所以函数的对称中心为\((\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6},0)(k\in Z)\)。
2、例题2：已知函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = 2\)对称，且\(f(x)=x^{2}-3x + 1\)，求\(f(3)\)的值
- 因为函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = 2\)对称，所以有\(f(3)=f(1)\)。
- 当\(x = 1\)时，\(f(1)=1^{2}-3\times1 + 1=-1\)，(f(3)=-1\)。
3、例题3：判断函数\(y=\frac{x + 1}{x - 1}\)是否有对称中心，如果有，求出对称中心
- 首先将函数\(y=\frac{x + 1}{x - 1}\)进行变形：\(y=\frac{x - 1+2}{x - 1}=1+\frac{2}{x - 1}\)。
图片来源于网络，如有侵权联系删除
- 它是由反比例函数\(y=\frac{2}{x}\)向右平移1个单位，向上平移1个单位得到的。
- 因为反比例函数\(y=\frac{2}{x}\)的对称中心是\((0,0)\)，所以函数\(y=\frac{x + 1}{x - 1}\)的对称中心是\((1,1)\)。
函数对称轴与对称中心在解题中的综合应用
1、利用对称轴和对称中心求解函数的周期
- 对于一些函数，如果知道其对称轴和对称中心的位置，可以求解函数的周期，若函数\(y = f(x)\)的图象有一条对称轴\(x = a\)和一个对称中心\((b,0)(a\neq b)\)，则函数\(y = f(x)\)的周期\(T = 4|a - b|\)。
- 以函数\(y=\sin x\)为例，它的对称轴\(x = k\pi+\frac{\pi}{2}\)，对称中心\((k\pi,0)\)，根据上述公式可得周期\(T = 2\pi\)，这与正弦函数的实际周期是相符的。
2、根据函数的对称性求解函数的表达式
- 已知函数的对称性可以帮助我们确定函数的表达式，已知函数\(y = f(x)\)关于点\((1,2)\)对称，设\((x,y)\)是函数图象上的一点，则其关于\((1,2)\)对称的点\((2 - x,4 - y)\)也在函数图象上。
- 如果还知道函数的其他性质，如单调性、奇偶性等，就可以进一步确定函数的表达式。
函数对称轴和对称中心是函数的重要性质，在解决函数的求值、求表达式、求周期等问题中有着广泛的应用，通过对不同类型函数对称轴和对称中心的研究以及相关例题的分析，可以加深我们对函数性质的理解，提高解决函数相关问题的能力。
评论列表