《探究轴对称、中心对称与周期函数的关系》
一、轴对称与周期函数的关系
1、定义回顾
- 对于函数\(y = f(x)\)，如果存在一条直线\(x = a\)，使得对于定义域内的任意\(x\)，都有\(f(a + x)=f(a - x)\)，那么函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)对称。
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- 对于周期函数，如果存在一个非零常数\(T\)，使得对于定义域内的任意\(x\)，都有\(f(x+T)=f(x)\)，则称\(y = f(x)\)为周期函数，\(T\)为它的一个周期。
2、轴对称不一定是周期函数
- 例如函数\(y=(x - 1)^2\)，它的图象关于直线\(x = 1\)轴对称，对于任意\(x\)，\(f(1 + x)=(x)^2\)，\(f(1 - x)=(x)^2\)，满足\(f(1 + x)=f(1 - x)\)，但是它不是周期函数，假设它是周期函数，设周期为\(T\)，((x - 1)^2=(x + T- 1)^2\)对于任意\(x\)成立，展开可得\(x^{2}-2x + 1=x^{2}+2(T - 1)x+(T - 1)^{2}\)，比较系数得\(- 2=2(T - 1)\)，解得\(T = 0\)，这与周期函数中\(T\neq0\)矛盾。
- 有些轴对称函数是周期函数。(y=\cos x\)，它的图象关于直线\(x = k\pi\)，\(k\in Z\)轴对称，同时它也是周期函数，其周期为\(2\pi\)，对于\(\cos x\)，\(\cos(a + x)=\cos(a - x)\)（当\(a = k\pi\)时），(\cos(x + 2\pi)=\cos x\)。
3、特殊情况分析
- 当函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)和\(x = b\)（\(a\neq b\)）对称时，那么函数\(y = f(x)\)是周期函数，因为\(f(x)\)(x = a\)对称，则\(f(x)=f(2a - x)\)；又因为\(f(x)\)(x = b\)对称，则\(f(x)=f(2b - x)\)。(f(2a - x)=f(2b - x)\)，令\(t=2a - x\)，则\(x = 2a - t\)，(f(t)=f(t + 2(b - a))\)，所以函数\(y = f(x)\)的周期\(T = 2|b - a|\)。
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二、中心对称与周期函数的关系
1、定义回顾
- 对于函数\(y = f(x)\)，如果存在点\((a,b)\)，使得对于定义域内的任意\(x\)，都有\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)，则函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)中心对称，特别地，当\(b = 0\)时，\(f(a + x)+f(a - x)=0\)，即\(f(a + x)= - f(a - x)\)。
- 同样，周期函数满足\(f(x+T)=f(x)\)。
2、中心对称不一定是周期函数
- 例如函数\(y=\frac{1}{x}\)，它的图象关于点\((0,0)\)中心对称，因为\(f(-x)=-\frac{1}{x}=-f(x)\)，满足中心对称的条件，但是它不是周期函数，假设存在周期\(T\neq0\)，使得\(\frac{1}{x + T}=\frac{1}{x}\)对于任意\(x\neq0\)成立，(x=x + T\)，这会导致\(T = 0\)，矛盾。
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- 像\(y=\sin x\)这样的函数，它的图象关于点\((k\pi,0)\)，\(k\in Z\)中心对称，同时它也是周期函数，周期为\(2\pi\)，对于\(\sin x\)，\(\sin(a + x)+\sin(a - x)=0\)（当\(a = k\pi\)时），且\(\sin(x + 2\pi)=\sin x\)。
3、特殊情况分析
- 当函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,0)\)和\((b,0)\)（\(a\neq b\)）中心对称时，那么函数\(y = f(x)\)是周期函数，因为\(f(x)\)((a,0)\)中心对称，则\(f(x)= - f(2a - x)\)；又因为\(f(x)\)((b,0)\)中心对称，则\(f(x)= - f(2b - x)\)。(f(2a - x)=f(2b - x)\)，令\(t = 2a - x\)，则\(x = 2a - t\)，(f(t)=f(t+2(b - a))\)，所以函数\(y = f(x)\)的周期\(T = 2|b - a|\)。
轴对称和中心对称的函数不一定是周期函数，只有在满足特定条件下，轴对称或中心对称的函数才是周期函数。
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