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合格性考试数学公式集结
集合
1、集合的基本运算
- 交集：\(A\cap B=\{x|x\in A且x\in B\}\)，若\(A = \{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\cap B = \{2,3\}\)。
- 并集：\(A\cup B=\{x|x\in A或x\in B\}\)，对于上述的\(A\)和\(B\)，\(A\cup B=\{1,2,3,4\}\)。
- 补集：设\(U\)是全集，\(A\subseteq U\)，则\(\complement_U A=\{x|x\in U且x\notin A\}\)。
2、集合元素的个数
- 如果用\(n(A)\)表示集合\(A\)的元素个数，(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)，这一公式在解决涉及两个集合元素个数问题时非常有用，已知\(n(A) = 10\)，\(n(B)=15\)，\(n(A\cap B)=5\)，则\(n(A\cup B)=10 + 15-5=20\)。
函数
1、一次函数
- 一般式为\(y = kx + b\)（\(k\neq0\)），(k\)是斜率，表示函数图像的倾斜程度，\(b\)是截距，即当\(x = 0\)时\(y\)的值。
- 斜率\(k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)（\((x_1,y_1)\)，\((x_2,y_2)\)是直线上的两点）。
2、二次函数
- 一般式\(y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)\)。
- 顶点坐标公式为\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})\)，对于二次函数\(y = x^{2}-2x + 3\)，(a = 1\)，\(b=-2\)，\(c = 3\)，顶点横坐标\(x=-\frac{-2}{2\times1}=1\)，纵坐标\(y=\frac{4\times1\times3-(-2)^{2}}{4\times1}=2\)，顶点坐标为\((1,2)\)。
- 对称轴方程为\(x = -\frac{b}{2a}\)。
3、函数的单调性
- 设函数\(y = f(x)\)在区间\((a,b)\)内有定义，如果对于区间\((a,b)\)内的任意两个自变量\(x_1\)，\(x_2\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)<f(x_2)\)（或\(f(x_1)>f(x_2)\)），那么就说函数\(y = f(x)\)在区间\((a,b)\)内是单调递增（或单调递减）的。
三角函数
1、弧度制与角度制的换算
- \(180^{\circ}=\pi\)弧度，(1^{\circ}=\frac{\pi}{180}\)弧度，\(1\)弧度\(=\frac{180^{\circ}}{\pi}\)。
2、三角函数的定义
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- 在直角坐标系中，设\(\alpha\)是一个任意角，\(\alpha\)终边上一点\(P(x,y)\)，\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。
- 则\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)\)。
3、同角三角函数的基本关系
- \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)。
4、诱导公式
- \(\sin(\alpha + 2k\pi)=\sin\alpha\)，\(\cos(\alpha + 2k\pi)=\cos\alpha\)（\(k\in Z\)）。
- \(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)。
- \(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\)等。
数列
1、等差数列
- 通项公式\(a_{n}=a_{1}+(n - 1)d\)，(a_{1}\)是首项，\(d\)是公差。
- 前\(n\)项和公式\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d\)，对于等差数列\(a_{n}=2+(n - 1)\times3\)，\(a_{1}=2\)，\(d = 3\)，其前\(n\)项和\(S_{n}=\frac{n(2 + 2+(n - 1)\times3)}{2}=\frac{n(4+3n - 3)}{2}=\frac{n(1 + 3n)}{2}\)。
2、等比数列
- 通项公式\(a_{n}=a_{1}q^{n - 1}\)，(a_{1}\)是首项，\(q\)是公比（\(q\neq0\)）。
- 前\(n\)项和公式当\(q = 1\)时，\(S_{n}=na_{1}\)；当\(q\neq1\)时，\(S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}\)。
平面向量
1、向量的加法与减法
- 设\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1})\)，\(\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2})\)。
- \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\)，\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})\)。
2、向量的数量积
- \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)（\(\theta\)是\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角），又\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\)。
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直线与圆
1、直线的方程
- 点斜式\(y - y_{0}=k(x - x_{0})\)（((x_{0},y_{0})\)是直线上一点，\(k\)是直线的斜率）。
- 斜截式\(y=kx + b\)（\(k\)是斜率，\(b\)是\(y\)轴截距）。
- 一般式\(Ax + By+C = 0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)）。
2、两条直线的位置关系
- 设直线\(l_{1}:y = k_{1}x + b_{1}\)，\(l_{2}:y = k_{2}x + b_{2}\)。
- 若\(l_{1}\parallel l_{2}\)，则\(k_{1}=k_{2}\)且\(b_{1}\neq b_{2}\)；若\(l_{1}\perp l_{2}\)，则\(k_{1}k_{2}=-1\)。
3、圆的方程
- 标准方程\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)（\((a,b)\)是圆心坐标，\(r\)是半径）。
- 一般方程\(x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0\)（\(D^{2}+E^{2}-4F>0\)），圆心坐标为\((-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})\)，半径\(r=\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}\)。
概率
1、古典概型
- 概率公式\(P(A)=\frac{事件A包含的基本事件数}{试验的基本事件总数}\)，掷一枚骰子，基本事件总数为\(6\)，事件\(A=\)“掷出偶数点”，包含的基本事件数为\(3\)，则\(P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)。
2、互斥事件与对立事件
- 互斥事件：若\(A\cap B=\varnothing\)，则\(A\)、\(B\)是互斥事件，\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)。
- 对立事件：若\(A\cap B=\varnothing\)且\(A\cup B=\varOmega\)（样本空间），则\(A\)、\(B\)是对立事件，\(P(B)=1 - P(A)\)。
在准备合格性考试时，熟练掌握这些公式是非常关键的，要通过做大量的练习题来加深对这些公式的理解和运用，从而在考试中取得好成绩。
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