本文目录导读：
《由函数对称轴与对称中心求周期的方法探究》
函数对称轴与对称中心的基本概念
1、对称轴
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- 对于函数\(y = f(x)\)，如果存在直线\(x = a\)，使得对于定义域内的任意\(x\)，都有\(f(a + x)=f(a - x)\)，那么直线\(x = a\)就是函数\(y = f(x)\)的一条对称轴，从图像上看，函数图像关于直线\(x = a\)对称，即直线\(x = a\)两侧的图像能够完全重合。
2、对称中心
- 若存在点\((b,c)\)，使得对于定义域内的任意\(x\)，都有\(f(b + x)+f(b - x)=2c\)，当\(c = 0\)时，即\(f(b + x)+f(b - x)=0\)，则点\((b,0)\)是函数\(y = f(x)\)的一个对称中心，从图像上看，函数图像关于点\((b,0)\)中心对称，也就是将函数图像绕点\((b,0)\)旋转\(180^{\circ}\)后与原图像重合。
对称轴与对称中心和周期的关系
1、相邻对称轴与对称中心的情况
- 若函数\(y = f(x)\)的图象有一条对称轴\(x = a\)和一个对称中心\((b,0)\)，且\(a\neq b\)。
- (f(x)\)的周期\(T = 4|a - b|\)。
- 证明如下：
- 因为\(x = a\)是对称轴，(f(a + x)=f(a - x)\)，即\(f(x)=f(2a - x)\)。
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- 又因为\((b,0)\)是对称中心，(f(b + x)+f(b - x)=0\)，即\(f(x)= - f(2b - x)\)。
- (f(2a - x)=-f(2b - x)\)，令\(t = 2a - x\)，则\(x = 2a - t\)，(f(t)=-f(t + 2(b - a))\)。
- 进而\(f(t + 4(b - a))=-f(t + 2(b - a))=f(t)\)，所以周期\(T = 4|a - b|\)。
2、多个对称轴或对称中心的情况
- 如果函数有两条对称轴\(x = a\)和\(x = b(a\neq b)\)，则函数的周期\(T = 2|a - b|\)。
- 证明：因为\(x = a\)是对称轴，(f(x)=f(2a - x)\)；又因为\(x = b\)是对称轴，(f(x)=f(2b - x)\)，则\(f(2a - x)=f(2b - x)\)，令\(t = 2a - x\)，可得\(f(t)=f(t + 2(b - a))\)，所以周期\(T = 2|a - b|\)。
- 若函数有两个对称中心\((a,0)\)和\((b,0)(a\neq b)\)，函数的周期\(T = 2|a - b|\)。
- 证明：因为\((a,0)\)是对称中心，\(f(x)= - f(2a - x)\)；\((b,0)\)是对称中心，\(f(x)= - f(2b - x)\)，(f(2a - x)=f(2b - x)\)，同理可得周期\(T = 2|a - b|\)。
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应用实例
1、例1
- 已知函数\(y = f(x)\)的图象有一条对称轴\(x = 1\)和一个对称中心\((3,0)\)，求函数的周期。
- 解：根据对称轴与对称中心和周期的关系，因为\(a = 1\)，\(b = 3\)，所以周期\(T = 4|1 - 3|=8\)。
2、例2
- 已知函数\(y = f(x)\)有两条对称轴\(x=\frac{\pi}{2}\)和\(x=\frac{3\pi}{2}\)，求函数的周期。
- 解：这里\(a=\frac{\pi}{2}\)，\(b = \frac{3\pi}{2}\)，根据公式\(T = 2|\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{2}|=2\pi\)。
我们可以根据函数对称轴和对称中心的情况，按照相应的公式准确求出函数的周期，这有助于我们进一步研究函数的性质。
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