函数对称中心的求解方法
一、定义法
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1、对于奇函数
- 奇函数的定义是\(f(-x)= - f(x)\),其图象关于原点\((0,0)\)对称。(y = x^3\),\(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\),所以原点\((0,0)\)就是它的对称中心。
- 对于一些可以通过平移得到的函数,(y = f(x)\)是奇函数,(y = f(x - a)+b\)的对称中心就是\((a,b)\)。(y=(x - 1)^3+2\),它是由\(y = x^3\)向右平移1个单位,向上平移2个单位得到的,所以其对称中心为\((1,2)\)。
2、对于函数\(y=\frac{1}{x}\)及其类似函数
- 函数\(y = \frac{1}{x}\)的图象关于点\((0,0)\)对称,对于函数\(y=\frac{1}{x + a}+b\),它是由\(y=\frac{1}{x}\)向左平移\(a\)个单位(\(a>0\)时),向上平移\(b\)个单位得到的,其对称中心为\((-a,b)\)。(y=\frac{1}{x - 2}+3\)的对称中心为\((2,3)\)。
二、利用函数的性质求解
1、对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)\)
- 二次函数的图象是抛物线,其对称轴为\(x =-\frac{b}{2a}\),对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\),它的顶点坐标为\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})\),二次函数图象关于其顶点所在的垂直于对称轴的直线对称,所以其对称中心(当\(a\neq0\)时)就是顶点\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})\)。
2、对于三角函数
正弦函数\(y = A\sin(\omega x+\varphi)+k\)
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- 正弦函数\(y=\sin x\)的图象关于点\((k\pi,0)(k\in Z)\)对称,对于函数\(y = A\sin(\omega x+\varphi)+k\),令\(\omega x+\varphi = n\pi(n\in Z)\),解得\(x=\frac{n\pi-\varphi}{\omega}\),当\(n = 0\)时,\(x =-\frac{\varphi}{\omega}\),(y = k\),所以其对称中心为\((\frac{n\pi-\varphi}{\omega},k)(n\in Z)\)。
余弦函数\(y = A\cos(\omega x+\varphi)+k\)
- 余弦函数\(y=\cos x\)的图象关于点\((\frac{\pi}{2}+k\pi,0)(k\in Z)\)对称,对于函数\(y = A\cos(\omega x+\varphi)+k\),令\(\omega x+\varphi=\frac{\pi}{2}+m\pi(m\in Z)\),解得\(x=\frac{\frac{\pi}{2}+m\pi-\varphi}{\omega}\),当\(m = 0\)时,\(x=\frac{\frac{\pi}{2}-\varphi}{\omega}\),(y = k\),其对称中心为\((\frac{\frac{\pi}{2}+m\pi-\varphi}{\omega},k)(m\in Z)\)。
三、求导法(适用于可导函数)
1、原理
- 若函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)对称,则有\(f(a + x)+f(a - x)=2b\),对这个等式两边求导,根据求导的加法法则\((u + v)^\prime=u^\prime+v^\prime\),得到\(f^\prime(a + x)-f^\prime(a - x)=0\),即\(f^\prime(a + x)=f^\prime(a - x)\),这意味着函数\(y = f(x)\)的导函数\(y = f^\prime(x)\)关于直线\(x = a\)对称。
2、示例
- 设\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2x\),先求导\(f^\prime(x)=3x^{2}-6x + 2\),令\(x = a\),由\(f^\prime(a + x)=f^\prime(a - x)\)可得\(3(a + x)^{2}-6(a + x)+2=3(a - x)^{2}-6(a - x)+2\)。
- 展开式子得\(3(a^{2}+2ax+x^{2})-6a - 6x+2 = 3(a^{2}-2ax+x^{2})-6a+6x+2\)。
- 化简得\(6ax - 6x=- 6ax+6x\),即\(12ax = 12x\),解得\(a = 1\)。
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- 再将\(a = 1\)代入\(f(x)\)中,\(f(1)=1 - 3+2=0\),所以函数\(f(x)\)的对称中心为\((1,0)\)。
四、特殊点法(适用于一些具有特殊性质的函数)
1、对于分式函数\(y=\frac{ax + b}{cx + d}(c\neq0)\)
- 先将函数化简为\(y=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx + d}\)。
- 当\(x =-\frac{d}{c}\)时,\(y=\frac{a}{c}\),所以函数\(y=\frac{ax + b}{cx + d}\)的对称中心为\((-\frac{d}{c},\frac{a}{c})\),例如对于函数\(y=\frac{2x+1}{x - 3}\),其对称中心为\((3,2)\)。
2、对于函数\(y = f(x)\)满足\(f(x)+f(2a - x)=2b\)的情况
- 直接可知函数\(y = f(x)\)的对称中心为\((a,b)\),例如对于函数\(y=\sqrt{x}+\sqrt{2 - x}\),\(f(x)+f(2 - x)=\sqrt{x}+\sqrt{2 - x}+\sqrt{2 - x}+\sqrt{x}=2(\sqrt{x}+\sqrt{2 - x})\),当\(x = 1\)时,\(y = 2\),所以其对称中心为\((1,2)\)。
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