《既是轴对称又是中心对称的函数与周期函数的关系探究》
一、既是轴对称又是中心对称的函数的性质
1、定义回顾
- 轴对称函数：对于函数\(y = f(x)\)，如果存在一条直线\(x = a\)，使得对于定义域内的任意\(x\)，都有\(f(a + x)=f(a - x)\)，那么函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x=a\)对称。
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- 中心对称函数：对于函数\(y = f(x)\)，如果存在点\((a,b)\)，使得对于定义域内的任意\(x\)，都有\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)，当\(b = 0\)时，即\(f(a + x)+f(a - x)=0\)，函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,0)\)对称。
2、具体函数示例
- (y=\cos x\)，它是轴对称函数，其对称轴为\(x = k\pi\)，\(k\in Z\)，同时它也是中心对称函数，对称中心为\((\frac{\pi}{2}+k\pi,0)\)，\(k\in Z\)。
- 又如\(y = \sin x\)，对称轴为\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)，\(k\in Z\)，对称中心为\((k\pi,0)\)，\(k\in Z\)。
二、既是轴对称又是中心对称的函数与周期函数的关系
1、是周期函数的情况
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- 以\(y=\cos x\)为例，它既是轴对称又是中心对称函数，且是周期函数，周期\(T = 2\pi\)，对于一般的三角函数\(y = A\sin(\omega x+\varphi)+B\)和\(y=A\cos(\omega x+\varphi)+B\)，它们都同时具有轴对称和中心对称的性质，并且是周期函数，周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)。
- 从理论上来说，若函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)对称且关于点\((b,0)\)对称\((a\neq b)\)，则\(f(x)\)是周期函数，证明如下：
- 因为\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)对称，(f(a + x)=f(a - x)\)，即\(f(x)=f(2a - x)\)。
- 又因为\(y = f(x)\)的图象关于点\((b,0)\)对称，(f(b + x)+f(b - x)=0\)，令\(x = x + b - a\)，则\(f(x + b - a)+f(2b - x - b + a)=0\)，即\(f(x+(b - a))+f(a+(b - x)) = 0\)。
- 由于\(f(x)=f(2a - x)\)，则\(f(x+(b - a))+f(2a-(x+(b - a)))=0\)，即\(f(x+(b - a))+f(a - b + x)=0\)。
- 令\(T = 2(a - b)\)，则\(f(x+T)=f(x)\)，(y = f(x)\)是周期函数。
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2、不一定是周期函数的情况
- 考虑函数\(y = 0\)，\(x\in R\)，它的图象是\(x\)轴，它关于任意直线\(x = a\)对称（因为\(f(a + x)=0=f(a - x)\)），也关于任意点\((a,0)\)对称（因为\(f(a + x)+f(a - x)=0 + 0=0\)），它是既是轴对称又是中心对称的函数，但它没有最小正周期（可以认为周期是任意非零实数），这种情况与常规的周期函数有所不同。
- 再看分段函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x\in[-1,1]\\ -x + 2, & x\in(1,3]\end{array}\right.\)，这个函数关于直线\(x = 1\)轴对称，关于点\((1,0)\)中心对称，但它不是周期函数，因为在定义域的不同区间上函数的表达式和变化规律不同，不存在固定的周期使得函数值重复出现。
既是轴对称又是中心对称的函数不一定是周期函数。
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