性质、推导与应用
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一、函数中心对称的定义与基本概念
1、中心对称的定义
- 在平面直角坐标系中，如果存在一个点$(a,b)$，使得对于函数$y = f(x)$上的任意一点$(x,y)$，其关于点$(a,b)$对称的点$(2a - x,2b - y)$也在函数图像上，那么就称函数$y = f(x)$的图像关于点$(a,b)$中心对称。
2、中心对称与函数表达式的关系
- 设函数$y = f(x)$关于点$(a,b)$中心对称，根据中心对称的性质，有$f(x)+f(2a - x)=2b$，这就是函数中心对称的一个基本表达式，对于函数$y = x^3$，它是关于原点$(0,0)$中心对称的函数，因为对于任意的$x$，$f(x)=x^3$，$f(-x)= - x^3$，满足$f(x)+f(-x)=x^3+(-x^3) = 0 = 2\times0$。
二、函数中心对称公式的推导
1、利用点对称的坐标关系推导
- 设点$P(x,y)$在函数$y = f(x)$上，点$P$关于点$(a,b)$的对称点为$P'(x',y')$，根据中点坐标公式，我们有$\frac{x + x'}{2}=a$，$\frac{y + y'}{2}=b$。
- 由此可得$x' = 2a - x$，$y'=2b - y$，因为点$P'$也在函数$y = f(x)$上（由于函数关于点$(a,b)$中心对称），y' = f(x')$，即$2b - y=f(2a - x)$，移项可得$f(x)+f(2a - x)=2b$。
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2、从向量的角度推导
- 在平面直角坐标系中，向量$\overrightarrow{OP}=(x,y)$，设点$P$关于点$(a,b)$对称的点为$P'$，则向量$\overrightarrow{OP'}= (2a - x,2b - y)$。
- 由于函数图像关于点$(a,b)$中心对称，所以对于函数$y = f(x)$，如果点$P(x,y)$满足$y = f(x)$，那么点$P'(2a - x,2b - y)$也满足$y' = f(x')$，即$2b - y=f(2a - x)$，同样得到$f(x)+f(2a - x)=2b$。
三、函数中心对称公式的应用
1、函数性质的判断
- 对于判断一个函数是否为中心对称函数非常有用，对于函数$y=\sin x$，我们来验证它是否关于点$(k\pi,0)(k\in Z)$中心对称。
- 对于任意的$x$，$f(x)=\sin x$，$f(2k\pi - x)=\sin(2k\pi - x)=-\sin x$（根据正弦函数的诱导公式），则$f(x)+f(2k\pi - x)=\sin x+(-\sin x)=0 = 2\times0$，y = \sin x$关于点$(k\pi,0)(k\in Z)$中心对称。
2、函数图像的绘制
- 当我们知道一个函数是中心对称函数时，可以利用中心对称的性质来绘制函数图像，对于函数$y=\frac{1}{x}$，它是关于点$(0,0)$中心对称的函数。
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- 我们只需要绘制出$x>0$部分的图像，然后根据中心对称性质就可以得到$x<0$部分的图像，当$x = 1$时，$y = 1$；当$x = 2$时，$y=\frac{1}{2}$等，根据关于原点对称的性质，对于点$(1,1)$，其对称点为$(-1,-1)$；对于点$(2,\frac{1}{2})$，其对称点为$(-2,-\frac{1}{2})$等。
3、函数解析式的求解
- 已知函数的中心对称性质，我们可以求解函数的解析式，已知函数$y = f(x)$关于点$(1,2)$中心对称，且当$x\in[0,1)$时，$f(x)=x^2$。
- 对于$x\in(1,2]$，设$x'=2 - x$，$x'\in[0,1)$，则$f(x)+f(2 - x)=4$，因为$f(x')=(2 - x)^2$，f(x)=4-(2 - x)^2=-x^2 + 4x$。
4、在函数变换中的应用
- 在函数的平移、伸缩等变换中，中心对称性质仍然保持，将函数$y = x^2$向右平移2个单位，得到$y=(x - 2)^2$，这个新函数的中心对称点也相应地向右平移2个单位，原来$y = x^2$关于点$(0,0)$中心对称，平移后$y=(x - 2)^2$关于点$(2,0)$中心对称。
函数中心对称公式在函数的研究中具有重要的意义，它不仅有助于我们深入理解函数的性质，而且在解决函数相关的问题，如函数图像绘制、解析式求解等方面都有着广泛的应用。
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