《函数的对称中心、对称轴与周期的关系：深入探究》
一、有对称中心的函数不一定是奇函数
1、奇函数的定义与对称中心
- 奇函数是满足\(f(-x)= - f(x)\)的函数，其图象关于原点\((0,0)\)对称，原点就是它的对称中心。
- (y = x^3\)，\(f(-x)=(-x)^3=-x^3 = - f(x)\)，它是奇函数，对称中心为\((0,0)\)。
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2、具有对称中心的非奇函数
- 考虑函数\(y=\sin(x +\frac{\pi}{3})\)，它的图象是由\(y = \sin x\)向左平移\(\frac{\pi}{3}\)个单位得到的。
- 它的对称中心为\((k\pi-\frac{\pi}{3},0)\)，\(k\in Z\)，但\(y=\sin(x+\frac{\pi}{3})\)不满足奇函数的定义\(f(-x)=-f(x)\)。
- 再如\(y=\frac{1}{x - 1}+1\)，它的图象是由\(y=\frac{1}{x}\)向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的，其对称中心为\((1,1)\)，显然不是奇函数。
二、函数既有对称中心又有对称轴时求周期
1、基本原理
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- 若函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,0)\)对称，则\(f(x)+f(2a - x)=0\)；若函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = b\)对称，则\(f(b + x)=f(b - x)\)。
- 设函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,0)\)对称且关于直线\(x = b\)对称\((a\neq b)\)。
- 因为\(f(x)\)关于点\((a,0)\)对称，(f(x)= - f(2a - x)\)；又因为\(f(x)\)关于直线\(x = b\)对称，(f(x)=f(2b - x)\)。
- (f(2b - x)=-f(2a - x)\)，令\(t = 2b - x\)，则\(x = 2b - t\)，(f(t)=-f(t + 2a - 2b)\)。
- 再令\(u=t + 2a - 2b\)，则\(t=u-(2a - 2b)\)，(f(u-(2a - 2b))=-f(u)\)，即\(f(u)=-f(u+(2a - 2b))\)。
- 又\(f(u+(2a - 2b))=-f(u + 2(2a - 2b))\)，(f(u)=f(u+4|a - b|)\)，函数\(y = f(x)\)的周期\(T = 4|a - b|\)。
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2、示例
- 例如函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((1,0)\)对称且关于直线\(x = 3\)对称。
- 根据上述结论，周期\(T=4|1 - 3|=8\)。
- 再比如函数\(y = g(x)\)的图象关于点\(( - 2,0)\)对称且关于直线\(x=\frac{1}{2}\)对称，则周期\(T = 4| - 2-\frac{1}{2}|=10\)。
有对称中心的函数不一定是奇函数，而当函数既有对称中心又有对称轴时，可以通过特定的关系推导出函数的周期，这有助于我们更深入地理解函数的性质，在解决函数相关的问题，如函数图象的绘制、函数值的求解等方面具有重要意义。
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