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《函数的轴对称与中心对称：性质、判定及应用深度剖析》
函数轴对称的概念与性质
1、定义
- 对于函数\(y = f(x)\)，如果存在一条直线\(x = a\)，使得对于任意的\(x\)，都有\(f(a + x)=f(a - x)\)，那么函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)对称。
2、性质
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- 若函数\(y = f(x)\)关于直线\(x = a\)对称，则\(f(x)\)在关于\(x = a\)对称的区间上单调性相反（如果函数具有单调性），二次函数\(y=(x - 1)^2\)，其图象关于直线\(x = 1\)对称，在\((-\infty,1)\)上单调递减，在\((1,+\infty)\)上单调递增。
- 函数\(y = f(x)\)关于直线\(x = a\)对称，则\(y = f(x)\)的图象上的点\((x,y)\)关于直线\(x = a\)的对称点\((2a - x,y)\)也在函数图象上。
函数中心对称的概念与性质
1、定义
- 对于函数\(y = f(x)\)，如果存在点\((a,b)\)，使得对于任意的\(x\)，都有\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)，那么函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)中心对称，特别地，当\(b = 0\)时，\(f(a + x)+f(a - x)=0\)，即\(f(x)\)关于点\((a,0)\)中心对称。
2、性质
- 若函数\(y = f(x)\)关于点\((a,b)\)中心对称，则\(f(x)\)在关于点\((a,b)\)对称的区间上单调性相同（如果函数具有单调性），函数\(y = x^3 - 3x\)，\(y'=3x^2 - 3\)，通过求导分析单调性可知，它关于点\((0,0)\)中心对称，在\((-\infty,- 1)\)和\((1,+\infty)\)上单调递增，在\((-1,1)\)上单调递减，在关于原点对称的区间上单调性相同。
- 函数\(y = f(x)\)关于点\((a,b)\)中心对称，则\(y = f(x)\)图象上的点\((x,y)\)关于点\((a,b)\)的对称点\((2a - x,2b - y)\)也在函数图象上。
函数轴对称与中心对称的判定方法
1、代数判定法
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- 对于函数\(y = f(x)\)，要判定是否关于直线\(x = a\)对称，可验证\(f(a + x)=f(a - x)\)是否成立，对于函数\(y=\cos x\)，要验证其是否关于\(x = k\pi(k\in Z)\)对称，我们有\(\cos(k\pi + x)=\cos(k\pi - x)\)，根据余弦函数的性质可知该等式成立，(y = \cos x\)的图象关于\(x = k\pi(k\in Z)\)对称。
- 要判定函数是否关于点\((a,b)\)中心对称，验证\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)是否成立，对于函数\(y=\sin x\)，验证其是否关于点\((k\pi,0)(k\in Z)\)中心对称，\(\sin(k\pi + x)+\sin(k\pi - x)=0\)（根据正弦函数的和差公式），(y=\sin x\)关于点\((k\pi,0)(k\in Z)\)中心对称。
2、图象判定法
- 直接观察函数图象的形状，如果图象能够沿着某条直线对折后完全重合，那么函数图象关于这条直线轴对称；如果图象绕着某个点旋转\(180^{\circ}\)后与原图象完全重合，那么函数图象关于这个点中心对称，二次函数\(y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)\)的图象是抛物线，其对称轴为\(x =-\frac{b}{2a}\)，通过配方将函数化为顶点式\(y=a(x - h)^2 + k\)，图象关于直线\(x = h\)对称；而反比例函数\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)的图象是双曲线，关于原点\((0,0)\)中心对称。
函数轴对称与中心对称在解题中的应用
1、求值问题
- 已知函数\(y = f(x)\)关于直线\(x = a\)对称，若\(f(x_{1})=y_{1}\)，且\(x_{2}=2a - x_{1}\)，则\(f(x_{2})=y_{1}\)，已知函数\(y = x^{2}-2x + 3\)关于直线\(x = 1\)对称，若\(f(2)=3\)，因为\(2\)(x = 1\)的对称点为\(0\)，(f(0)=3\)。
- 对于中心对称函数，已知函数\(y = f(x)\)关于点\((a,b)\)中心对称，若\(f(x_{1})=y_{1}\)，且\(x_{2}=2a - x_{1}\)，则\(f(x_{2}) = 2b - y_{1}\)，对于函数\(y = 2x^{3}-6x\)关于点\((0,0)\)中心对称，若\(f(1)= - 4\)，则\(f(-1)=4\)。
2、函数解析式的求解
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- 已知函数\(y = f(x)\)的部分图象关于直线\(x = a\)对称，可利用对称性质求出函数在其他区间的解析式，已知函数\(y = f(x)\)在\([0,+\infty)\)上的解析式为\(y = x^{2}-2x\)，且函数图象关于直线\(x = 1\)对称，那么对于\(x\in(-\infty,0]\)，设\(x\in(-\infty,0]\)，则\(-x\in[0,+\infty)\)，\(f(x)=f(2 - x)=(2 - x)^{2}-2(2 - x)=x^{2}-2x\)。
- 若函数关于点\((a,b)\)中心对称，也可根据中心对称性质求解解析式，已知函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((1,1)\)中心对称，且在\((1,+\infty)\)上\(f(x)=x^{2}-3x + 3\)，对于\(x\in(-\infty,1)\)，设\(x\in(-\infty,1)\)，则\(2 - x\in(1,+\infty)\)，\(f(x)=2 - f(2 - x)=2-[(2 - x)^{2}-3(2 - x)+3]= - x^{2}+x + 1\)。
3、函数图象的绘制
- 当知道函数的轴对称或中心对称性质后，可以更方便地绘制函数图象，对于偶函数\(y = f(x)\)（\(y = f(x)\)(y\)轴对称，即\(x = 0\)对称），只需要绘制\(y = f(x)\)在\(x\geqslant0\)的部分图象，然后根据对称性得到\(x<0\)的部分图象，对于奇函数\(y = f(x)\)（\(y = f(x)\)关于原点\((0,0)\)中心对称），同样可以先绘制\(x\geqslant0\)的部分图象，再根据中心对称性质得到\(x<0\)的部分图象。
函数的轴对称与中心对称是函数性质中的重要内容，深入理解其概念、性质、判定方法以及在解题中的应用，有助于我们更好地研究函数的各种特性，解决函数相关的各类问题。
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