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《整式混合运算：规则、步骤与实例全解析》
整式混合运算的基础概念
整式是单项式和多项式的统称，单项式是由数字和字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；多项式则是几个单项式的和，整式混合运算就是在一个式子中，同时包含多种整式运算，如加、减、乘、除、乘方等。
整式混合运算的公式与规则
1、幂的运算公式
- 同底数幂相乘：\(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}\)（\(m\)，\(n\)为正整数），(2^{3}\cdot2^{4}=2^{3 + 4}=2^{7}=128\)。
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- 同底数幂相除：\(a^{m}\div a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n\)为正整数且\(m>n)\)，(3^{5}\div3^{2}=3^{5 - 2}=3^{3}=27\)。
- 幂的乘方：\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)（\(m\)，\(n\)为正整数），((2^{2})^{3}=2^{2\times3}=2^{6}=64\)。
- 积的乘方：\((ab)^{n}=a^{n}b^{n}\)（\(n\)为正整数），如\((2\times3)^{2}=2^{2}\times3^{2}=4\times9 = 36\)。
2、整式的乘法
- 单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。(3x^{2}\cdot4x^{3}=(3\times4)x^{2 + 3}=12x^{5}\)。
- 单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，如\(2x(x^{2}+3x - 1)=2x\cdot x^{2}+2x\cdot3x - 2x\cdot1 = 2x^{3}+6x^{2}-2x\)。
- 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。((x + 2)(x - 3)=x\cdot x+x\cdot(- 3)+2\cdot x+2\times(-3)=x^{2}-3x + 2x-6=x^{2}-x - 6\)。
3、整式的除法
- 单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，如\(12x^{5}\div3x^{2}=(12\div3)x^{5 - 2}=4x^{3}\)。
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- 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。((6x^{3}+9x^{2})\div3x = 6x^{3}\div3x+9x^{2}\div3x = 2x^{2}+3x\)。
整式混合运算的步骤
1、先算乘方
- 在整式混合运算中，如果式子中有幂的运算，首先按照幂的运算公式计算乘方，例如在式子\(2x^{2}+(3x)^{2}-4x\cdot x^{2}\)中，先计算\((3x)^{2}=9x^{2}\)。
2、再算乘除
- 完成乘方运算后，按照从左到右的顺序进行乘除运算，在上述式子中，接着计算\(4x\cdot x^{2}=4x^{3}\)。
3、最后算加减
- 乘除运算完成后，最后进行加减运算，对于前面的式子\(2x^{2}+9x^{2}-4x^{3}=11x^{2}-4x^{3}\)。
整式混合运算的实例
1、计算\((2x^{2}y)^{3}\cdot(- 3xy^{2})\div(12x^{4}y^{5})\)
- 先算乘方：\((2x^{2}y)^{3}=2^{3}(x^{2})^{3}y^{3}=8x^{6}y^{3}\)。
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- 再算乘除：\(8x^{6}y^{3}\cdot(-3xy^{2})\div(12x^{4}y^{5})=[8\times(-3)\div12]x^{6 + 1-4}y^{3+2 - 5}=- 2x^{3}\)。
2、化简\((x + 3)^{2}-(x - 1)(x + 2)\)
- 先算乘方：\((x + 3)^{2}=x^{2}+6x + 9\)。
- 再算乘法：\((x - 1)(x + 2)=x^{2}+2x-x - 2=x^{2}+x - 2\)。
- 最后算减法：\((x^{2}+6x + 9)-(x^{2}+x - 2)=x^{2}+6x + 9 - x^{2}-x + 2 = 5x+11\)。
整式混合运算需要熟练掌握各种运算公式和规则，按照正确的步骤进行计算，同时要注意符号的变化和运算顺序，通过大量的练习才能准确无误地进行整式混合运算。
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