《函数中心对称与轴对称的判断方法全解析》
一、函数中心对称的判断方法
1、定义法
- 对于函数\(y = f(x)\)，如果存在点\((a,b)\)，使得对于函数定义域内的任意\(x\)，都有\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)，那么函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)中心对称。
- 对于函数\(y = x^{3}\)，我们来验证它关于原点\((0,0)\)中心对称，设\(x\)为定义域内任意实数，则\(f(x)=x^{3}\)，\(f(-x)= - x^{3}\)。(a = 0\)，\(b = 0\)，\(f(x)+f(-x)=x^{3}+(-x^{3}) = 0 = 2\times0\)，(y = x^{3}\)的图象关于原点中心对称。
2、特殊函数性质法
- 奇函数是特殊的中心对称函数，其图象关于原点\((0,0)\)中心对称，对于一个函数\(y = f(x)\)，如果满足\(f(-x)= - f(x)\)对定义域内任意\(x\)都成立，那么它是奇函数，也就关于原点中心对称。
- 函数\(y=\sin x\)是奇函数，因为\(\sin(-x)=-\sin x\)，它的图象关于原点中心对称，对于一些可以通过平移得到的函数，如\(y=\sin(x +\varphi)\)，它的图象是\(y = \sin x\)向左或向右平移\(\vert\varphi\vert\)个单位得到的，其对称中心变为\((k\pi-\varphi,0)\)，\(k\in Z\)。
3、函数变换法
- 如果已知函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)中心对称，那么函数\(y = f(x)+c\)的图象关于点\((a,b + c)\)中心对称。
- 函数\(y = x^{3}-1\)，因为\(y = x^{3}\)关于原点\((0,0)\)中心对称，\(y = x^{3}-1\)是\(y = x^{3}\)向下平移1个单位得到的，(y = x^{3}-1\)的图象关于点\((0,- 1)\)中心对称。
- 对于函数\(y = f(x)\)，(y = f(x)\)关于点\((a,b)\)中心对称，(y = f(2a - x)\)与\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)中心对称，设\(f(x)=\frac{1}{x - 1}\)，其对称中心为\((1,0)\)，则\(f(2 - x)=\frac{1}{(2 - x)-1}=\frac{1}{1 - x}\)，\(f(x)\)与\(f(2 - x)\)的图象关于点\((1,0)\)中心对称。
4、求二阶导数法（适用于可导函数）
- 对于可导函数\(y = f(x)\)，(f''(x)\)是奇函数，(y = f(x)\)的图象关于某点中心对称。
- 设\(y = f(x)\)，先求其一阶导数\(y'=f'(x)\)，再求二阶导数\(y'' = f''(x)\)，对于函数\(y = x^{3}-3x\)，\(y'=3x^{2}-3\)，\(y'' = 6x\)，\(y''\)是奇函数，(y = x^{3}-3x\)的图象关于某点中心对称，通过进一步分析可以得出其对称中心为\((0,0)\)。
二、函数轴对称的判断方法
1、定义法
- 对于函数\(y = f(x)\)，如果存在直线\(x = a\)，使得对于函数定义域内的任意\(x\)，都有\(f(a + x)=f(a - x)\)，那么函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)轴对称。
- 对于函数\(y=\cos x\)，对于任意\(x\)，\(\cos(x)=\cos(-x)\)，当\(a = 0\)时，\(f(0 + x)=\cos x\)，\(f(0 - x)=\cos(-x)=\cos x\)，(y = \cos x\)的图象关于\(y\)轴（\(x = 0\)）轴对称。
2、特殊函数性质法
- 偶函数是特殊的轴对称函数，其图象关于\(y\)轴（\(x = 0\)）轴对称，对于一个函数\(y = f(x)\)，如果满足\(f(-x)=f(x)\)对定义域内任意\(x\)都成立，那么它是偶函数，图象关于\(y\)轴轴对称。
- 函数\(y = x^{2}\)是偶函数，因为\((-x)^{2}=x^{2}\)，其图象关于\(y\)轴轴对称，对于函数\(y = f(x)\)，(y = f(x)\)(x = 0\)轴对称，(y = f(x + c)\)的图象关于\(x=-c\)轴对称，\(y=(x + 1)^{2}\)的图象是\(y = x^{2}\)向左平移1个单位得到的，其图象关于\(x=-1\)轴对称。
3、函数变换法
- 如果函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)轴对称，那么函数\(y = f(2a - x)\)与\(y = f(x)\)的图象完全重合，即关于直线\(x = a\)轴对称。
- 对于函数\(y=\vert x - 1\vert\)，其图象关于直线\(x = 1\)轴对称，我们可以验证\(f(2 - x)=\vert(2 - x)-1\vert=\vert1 - x\vert=\vert x - 1\vert=f(x)\)，(y=\vert x - 1\vert\)与\(y=\vert1 - x\vert\)的图象关于\(x = 1\)轴对称。
4、求一阶导数法（适用于可导函数）
- 对于可导函数\(y = f(x)\)，如果在\(x = a\)处\(f'(a)=0\)，且\(f''(a)\neq0\)，那么函数\(y = f(x)\)的图象在\(x = a\)处有对称轴。
- 对于函数\(y = x^{2}\)，\(y'=2x\)，当\(x = 0\)时，\(y'=0\)，\(y'' = 2\neq0\)，(y = x^{2}\)的图象关于\(x = 0\)轴对称。
在判断函数的中心对称和轴对称时，我们可以根据函数的类型、性质以及相关的数学定义和方法进行综合分析，从而准确地确定函数图象的对称性质，这对于深入理解函数的图象特征、解决函数相关的数学问题以及在实际应用中的函数建模等方面都具有重要意义。
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