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《已知函数的对称轴和对称中心求周期》
在函数的学习中,函数的对称轴、对称中心和周期是非常重要的性质,对于一些复杂的函数,当我们知道它的对称轴和对称中心时,如何求出函数的周期呢?这是一个很有技巧性的问题,本视频将详细讲解其中的原理和方法。
函数对称轴与对称中心的概念回顾
(一)对称轴
对于函数y = f(x),如果存在一条直线x = a,使得对于定义域内的任意x,都有f(a + x)= f(a - x),那么直线x = a就称为函数y = f(x)的对称轴,从图像上看,函数图像关于直线x = a对称,即直线x = a两侧的图像是完全重合的。
对于二次函数y = ax²+bx + c(a≠0),其对称轴为x = -b/2a,当x取关于 -b/2a对称的两个值时,函数值相等。
(二)对称中心
如果存在点(a,b),使得对于函数y = f(x)定义域内的任意x,都有f(a + x)+ f(a - x)= 2b,那么点(a,b)就称为函数y = f(x)的对称中心,从图像上看,函数图像关于点(a,b)中心对称,即把函数图像绕点(a,b)旋转180°后与原图像重合。
函数y = sinx的对称中心是(kπ,0)(k∈Z)。
对称轴与对称中心和周期的关系
(一)基本原理
1、若函数y = f(x)的图象关于直线x = a和x = b(a≠b)对称,则函数y = f(x)的周期T = 2|a - b|。
- 证明:因为函数关于x = a对称,所以f(x)=f(2a - x);又因为函数关于x = b对称,所以f(x)=f(2b - x)。
- 那么f(2a - x)=f(2b - x),令t = 2a - x,则x = 2a - t,所以f(t)=f(t + 2(b - a))。
- 根据周期函数的定义,可知函数的周期T = 2|a - b|。
2、若函数y = f(x)的图象关于点(a,c)和点(b,c)(a≠b)对称,则函数y = f(x)的周期T = 2|a - b|。
- 证明:因为函数关于点(a,c)对称,所以f(x)+f(2a - x)=2c;又因为函数关于点(b,c)对称,所以f(x)+f(2b - x)=2c。
- 从而f(2a - x)=f(2b - x),后续证明与上述类似,可得周期T = 2|a - b|。
3、若函数y = f(x)的图象关于点(a,c)对称,且关于直线x = b对称,则函数y = f(x)的周期T = 4|a - b|。
- 证明:因为函数关于点(a,c)对称,所以f(x)+f(2a - x)=2c;因为函数关于直线x = b对称,所以f(x)=f(2b - x)。
- 由f(x)=f(2b - x)可得f(2a - x)+f(2b-(2a - x)) = 2c,即f(2a - x)+f(2b - 2a+x)=2c。
- 令t = 2a - x,则x = 2a - t,所以f(t)+f(2b - 2a + t)=2c,再令u=t+(2b - 2a),则t = u-(2b - 2a)。
- 可得f(u-(2b - 2a))+f(u)=2c,又f(u-(2b - 2a)) = f(u + 2(2a - 2b)),所以周期T = 4|a - b|。
(二)例题讲解
1、已知函数y = f(x)的图象关于直线x = 1和x = 3对称,求函数的周期。
- 根据上述原理,因为函数关于直线x = 1和x = 3对称,所以周期T = 2|1 - 3|=4。
2、已知函数y = f(x)的图象关于点(2,1)和点(4,1)对称,求函数的周期。
- 由原理可知,函数的周期T = 2|2 - 4| = 4。
3、已知函数y = f(x)的图象关于点(1,2)对称,且关于直线x = 3对称,求函数的周期。
- 根据原理,函数的周期T = 4|1 - 3|=8。
通过以上的讲解,我们可以看到,当已知函数的对称轴和对称中心时,利用它们之间的关系可以准确求出函数的周期,在解决这类问题时,关键是要牢记不同情况下对称轴与对称中心和周期的关系公式,并且能够熟练运用函数的对称性定义进行推导,这不仅有助于我们深入理解函数的性质,而且在解决函数相关的综合问题,如函数的图象绘制、函数的值域和单调性等问题时也有着重要的作用,希望同学们通过本视频的学习,能够熟练掌握这一知识点,提高解决函数问题的能力。
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