本文目录导读：
探究三次函数的对称中心
三次函数的一般形式
三次函数的一般表达式为\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)（\(a\neq0\)），它的图像和性质相较于一次函数和二次函数更为复杂，但却有着独特的对称性质。
求三次函数对称中心的方法
（一）方法一：利用导数求对称中心
1、首先对三次函数\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)求导，根据求导公式\((X^n)^\prime=nX^{n - 1}\)，可得\(y^\prime=3ax^{2}+2bx + c\)。
2、再对\(y^\prime\)求导，得到\(y^{\prime\prime} = 6ax+2b\)，令\(y^{\prime\prime}=0\)，解得\(x =-\frac{b}{3a}\)。
3、将\(x =-\frac{b}{3a}\)代入原三次函数\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)中，可得：
\[
\begin{align*}
y&=a\left(-\frac{b}{3a}\right)^{3}+b\left(-\frac{b}{3a}\right)^{2}+c\left(-\frac{b}{3a}\right)+d\\
&=-\frac{b^{3}}{27a^{2}}+\frac{b^{3}}{9a^{2}}-\frac{bc}{3a}+d\\
&=\frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{bc}{3a}+d
\end{align*}
\]
三次函数\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)的对称中心为\(\left(-\frac{b}{3a},\frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{bc}{3a}+d\right)\)。
（二）方法二：函数平移法
1、对于三次函数\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)，我们可以通过配方的方式将其转化为\(y=a\left(x +\frac{b}{3a}\right)^{3}+\left(c-\frac{b^{2}}{3a}\right)\left(x+\frac{b}{3a}\right)+d-\frac{bc}{3a}+\frac{2b^{3}}{27a^{2}}\)。
2、令\(t=x+\frac{b}{3a}\)，则函数变为\(y = at^{3}+\left(c-\frac{b^{2}}{3a}\right)t + d-\frac{bc}{3a}+\frac{2b^{3}}{27a^{2}}\)。
3、我们知道函数\(y = at^{3}\)是一个奇函数，其对称中心为\((0,0)\)，当函数\(y = at^{3}\)经过平移得到\(y = at^{3}+\left(c-\frac{b^{2}}{3a}\right)t + d-\frac{bc}{3a}+\frac{2b^{3}}{27a^{2}}\)时，其对称中心也相应地从\((0,0)\)平移到\(\left(-\frac{b}{3a},\frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{bc}{3a}+d\right)\)。
三次函数对称中心的性质及应用
（一）性质
1、若点\((x_{1},y_{1})\)在三次函数\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)的图像上，则点\(( - \frac{2b}{3a}-x_{1},2\left(\frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{bc}{3a}+d\right)-y_{1})\)也在该函数图像上，这一性质体现了三次函数图像关于对称中心的对称性。
2、三次函数的对称中心是函数图像的拐点，在对称中心处，函数的二阶导数为\(0\)，函数的凹凸性发生改变。
（二）应用
1、在解决三次函数的最值问题时，利用对称中心的性质可以简化计算，当我们知道三次函数的对称中心后，可以通过判断函数在对称中心两侧的单调性来确定函数的最值情况。
2、在研究三次函数与直线的交点问题时，如果直线过三次函数的对称中心，那么交点的分布情况会有一定的规律，对于一些关于对称中心对称的区间，交点个数可能存在特定的关系。
三次函数的对称中心是研究三次函数性质的重要内容，通过多种方法求出对称中心，并深入理解其性质和应用，有助于我们更好地掌握三次函数这一重要的函数类型，在数学学习和实际问题的解决中发挥重要的作用。
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