函数对称轴和对称中心的公式推导，函数对称轴和对称中心的公式

欧气 2024年09月30日 01:54 2 0

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二次函数
函数对称轴和对称中心公式的应用

函数对称轴和对称中心公式全解析

二次函数

1、对称轴公式推导

- 对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)\)，我们可以通过配方法将其转化为顶点式。

- 首先对二次函数进行配方：\(y=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\right)+c\)

- 进一步化简得到\(y = a(x +\frac{b}{2a})^{2}+\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)。

- 在顶点式\(y = a(x - h)^{2}+k\)（((h,k)\)为顶点坐标）中，对于\(y = a(x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)，其对称轴为\(x =-\frac{b}{2a}\)。

2、对称中心

- 二次函数是轴对称图形，没有对称中心（严格意义上的中心对称点），但从广义的对称概念来看，如果把二次函数的顶点看作一种特殊的“中心”，那么顶点\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})\)可以视为一种特殊的对称参考点。

二、正弦函数\(y = A\sin(\omega x+\varphi)\)

1、对称轴公式推导

- 对于正弦函数\(y = A\sin(\omega x+\varphi)\)，正弦函数的对称轴是使函数取得最值的直线。

- 令\(\omega x+\varphi = k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)，解出\(x=\frac{k\pi+\frac{\pi}{2}-\varphi}{\omega}(k\in Z)\)，这就是正弦函数\(y = A\sin(\omega x+\varphi)\)的对称轴方程。

2、对称中心公式推导

- 正弦函数的对称中心是函数值为\(0\)的点。

- 令\(\omega x+\varphi = k\pi(k\in Z)\)，解得\(x=\frac{k\pi-\varphi}{\omega}(k\in Z)\)，所以对称中心为\((\frac{k\pi-\varphi}{\omega},0)(k\in Z)\)。

三、余弦函数\(y = A\cos(\omega x+\varphi)\)

1、对称轴公式推导

- 余弦函数的对称轴是使函数取得最值的直线。

- 令\(\omega x+\varphi = k\pi(k\in Z)\)，解出\(x=\frac{k\pi-\varphi}{\omega}(k\in Z)\)，这就是余弦函数\(y = A\cos(\omega x+\varphi)\)的对称轴方程。

2、对称中心公式推导

- 余弦函数的对称中心是函数值为\(0\)的点。

- 令\(\omega x+\varphi = k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)，解得\(x=\frac{k\pi+\frac{\pi}{2}-\varphi}{\omega}(k\in Z)\)，所以对称中心为\((\frac{k\pi+\frac{\pi}{2}-\varphi}{\omega},0)(k\in Z)\)。

四、正切函数\(y = A\tan(\omega x+\varphi)\)

1、对称中心公式推导

- 正切函数\(y = A\tan(\omega x+\varphi)\)的对称中心是使\(\omega x+\varphi=\frac{k\pi}{2}(k\in Z)\)的点。

- 解出\(x=\frac{\frac{k\pi}{2}-\varphi}{\omega}=\frac{k\pi - 2\varphi}{2\omega}(k\in Z)\)，所以正切函数的对称中心为\((\frac{k\pi - 2\varphi}{2\omega},0)(k\in Z)\)。

- 正切函数没有对称轴，因为正切函数的图象是不连续的，不存在一条直线使得函数关于该直线对称。