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周期函数是数学中一类重要的函数，它在各个领域都有广泛的应用，周期函数的周期性规律是研究函数性质的重要依据，对于具有对称中心与对称轴的周期函数，如何求得其周期，一直是数学研究中的一个难题，本文将从周期函数的定义、性质入手，结合具有对称中心与对称轴的函数特点，对如何求解这类函数的周期进行详细解析。
周期函数的定义及性质
1、定义
周期函数是指对于任意实数x，存在一个非零实数T，使得当x增加T时，函数值不变，即f(x+T)=f(x)，T称为函数的周期。
2、性质
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（1）若f(x)是周期函数，则其周期T满足T≥0；
（2）若f(x)是周期函数，且T1、T2为其两个周期，则T1和T2的最小公倍数也是f(x)的周期；
（3）若f(x)是周期函数，则其周期函数的导数、积分等仍然具有周期性。
具有对称中心与对称轴的周期函数
1、对称中心
具有对称中心的函数满足f(x)=-f(-x)，函数f(x)=x^2在原点具有对称中心。
2、对称轴
具有对称轴的函数满足f(x)=f(-x)，其中x为对称轴的横坐标，函数f(x)=x^3在y轴上具有对称轴。
求解具有对称中心与对称轴的周期函数的周期
1、情况一：对称中心为原点，对称轴为y轴
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对于这类函数，我们可以利用周期函数的性质来求解其周期，设f(x)是具有对称中心为原点、对称轴为y轴的周期函数，其周期为T。
由于f(x)具有对称中心，我们有f(x)=-f(-x)，又因为f(x)具有对称轴，所以f(x)=f(-x)，结合这两个条件，我们可以得到f(x)=0。
对于具有对称中心为原点、对称轴为y轴的周期函数，其周期T=0。
2、情况二：对称中心不为原点，对称轴为y轴
对于这类函数，我们可以通过求解其导数的周期来得到原函数的周期，设f(x)是具有对称中心不为原点、对称轴为y轴的周期函数，其周期为T。
由于f(x)具有对称轴，我们有f(x)=f(-x)，设f'(x)为f(x)的导数，则f'(x)也是周期函数，设f'(x)的周期为T'，则T'≥0。
由于f(x)具有对称中心，我们有f'(x)=-f'(-x)，又因为f'(x)是周期函数，所以f'(x)=0。
对于具有对称中心不为原点、对称轴为y轴的周期函数，其周期T=2T'。
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3、情况三：对称中心为原点，对称轴不为y轴
对于这类函数，我们可以通过求解其导数的周期来得到原函数的周期，设f(x)是具有对称中心为原点、对称轴不为y轴的周期函数，其周期为T。
由于f(x)具有对称中心，我们有f(x)=-f(-x)，设f'(x)为f(x)的导数，则f'(x)也是周期函数，设f'(x)的周期为T'，则T'≥0。
由于f(x)具有对称轴，我们有f'(x)=f'(-x)，又因为f'(x)是周期函数，所以f'(x)的周期T'为原函数周期T的一半。
对于具有对称中心为原点、对称轴不为y轴的周期函数，其周期T=2T'。
本文从周期函数的定义及性质出发，结合具有对称中心与对称轴的函数特点，详细解析了求解这类函数周期的方法，通过分析不同情况下函数的周期，我们得到了具有对称中心与对称轴的周期函数的周期求解方法，这对于研究周期函数的性质和应用具有重要意义。
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