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既有对称中心又有对称轴的函数的周期性探究
在数学中，函数的性质是研究的重要内容之一，对称中心和对称轴是函数的两种重要特征，一个既有对称中心又有对称轴的函数是否一定是周期函数呢？本文将对此进行深入探讨。
对称中心和对称轴的定义
1、对称中心
对于函数 $f(x)$，如果存在一点 $(a,b)$，使得对于任意的 $x$，都有 $f(a+x)+f(a-x)=2b$，那么称点 $(a,b)$ 为函数 $f(x)$ 的对称中心。
2、对称轴
对于函数 $f(x)$，如果存在一条直线 $x=a$，使得对于任意的 $x$，都有 $f(a+x)=f(a-x)$，那么称直线 $x=a$ 为函数 $f(x)$ 的对称轴。
周期函数的定义
对于函数 $f(x)$，如果存在一个非零常数 $T$，使得对于任意的 $x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，那么称函数 $f(x)$ 是周期函数，$T$ 是函数 $f(x)$ 的一个周期。
既有对称中心又有对称轴的函数的周期性
1、若函数 $f(x)$ 既有对称中心 $(a,b)$，又有对称轴 $x=c$，则函数 $f(x)$ 是周期函数，且周期为 $T=4|a-c|$。
证明：
因为函数 $f(x)$ 关于点 $(a,b)$ 对称，所以有 $f(a+x)+f(a-x)=2b$。
因为函数 $f(x)$ 关于直线 $x=c$ 对称，所以有 $f(c+x)=f(c-x)$。
将 $x$ 替换为 $c-x$，得到 $f(c+c-x)=f(c-(c-x))$，即 $f(2c-x)=f(x)$。
将 $x$ 替换为 $2c-x$，得到 $f(2c-(2c-x))=f(2c-x)$，即 $f(x)=f(2c-x)$。
将 $f(x)=f(2c-x)$ 代入 $f(a+x)+f(a-x)=2b$，得到 $f(a+x)+f(2c-(a+x))=2b$，即 $f(a+x)+f(2c-a-x)=2b$。
令 $t=a+x$，则有 $f(t)+f(2c-t)=2b$。
将 $t$ 替换为 $2c-t$，得到 $f(2c-t)+f(t)=2b$。
将上面两个式子相加，得到 $2f(t)=2b$，即 $f(t)=b$。
对于任意的 $x$，都有 $f(x)=b$。
函数 $f(x)$ 是周期函数，且周期为 $T=4|a-c|$。
2、若函数 $f(x)$ 既有对称中心 $(a,b)$，又有对称轴 $x=c$，且 $a\neq c$，则函数 $f(x)$ 是周期函数，且周期为 $T=2|a-c|$。
证明：
因为函数 $f(x)$ 关于点 $(a,b)$ 对称，所以有 $f(a+x)+f(a-x)=2b$。
因为函数 $f(x)$ 关于直线 $x=c$ 对称，所以有 $f(c+x)=f(c-x)$。
将 $x$ 替换为 $c-x$，得到 $f(c+c-x)=f(c-(c-x))$，即 $f(2c-x)=f(x)$。
将 $x$ 替换为 $2c-x$，得到 $f(2c-(2c-x))=f(2c-x)$，即 $f(x)=f(2c-x)$。
将 $f(x)=f(2c-x)$ 代入 $f(a+x)+f(a-x)=2b$，得到 $f(a+x)+f(2c-(a+x))=2b$，即 $f(a+x)+f(2c-a-x)=2b$。
令 $t=a+x$，则有 $f(t)+f(2c-t)=2b$。
将 $t$ 替换为 $2c-t$，得到 $f(2c-t)+f(t)=2b$。
将上面两个式子相减，得到 $2f(t)-2f(2c-t)=0$，即 $f(t)=f(2c-t)$。
对于任意的 $x$，都有 $f(x)=f(2c-x)$。
函数 $f(x)$ 是周期函数，且周期为 $T=2|a-c|$。
通过以上讨论，我们可以得到以下结论：
1、若函数 $f(x)$ 既有对称中心 $(a,b)$，又有对称轴 $x=c$，则函数 $f(x)$ 是周期函数，且周期为 $T=4|a-c|$。
2、若函数 $f(x)$ 既有对称中心 $(a,b)$，又有对称轴 $x=c$，且 $a\neq c$，则函数 $f(x)$ 是周期函数，且周期为 $T=2|a-c|$。
需要注意的是，以上结论仅适用于函数的对称中心和对称轴不重合的情况，如果函数的对称中心和对称轴重合，那么函数不一定是周期函数，函数 $f(x)=x^3$ 既有对称中心 $(0,0)$，又有对称轴 $x=0$，但它不是周期函数。
对于既有对称中心又有对称轴的函数，我们可以通过上述结论来判断它是否是周期函数，并求出它的周期。
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