函数对称轴对称中心有关题目，函数对称轴对称中心例题

函数对称轴对称中心例题解析

一、引言

函数的对称性是函数的一个重要性质，它在数学中有着广泛的应用，函数的对称轴和对称中心是函数对称性的两种表现形式，它们分别反映了函数图像在平面直角坐标系中的对称性质，我们将通过一些例题来深入探讨函数的对称轴和对称中心的性质及其应用。

二、函数对称轴的性质

1、定义：如果函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称，那么直线 $x=a$ 就是函数 $f(x)$ 的对称轴。

2、性质：

- 若函数 $f(x)$ 关于直线 $x=a$ 对称，则有 $f(a+x)=f(a-x)$ 对任意 $x$ 都成立。

- 若函数 $f(x)$ 关于直线 $x=a$ 对称，则函数 $f(x)$ 在直线 $x=a$ 两侧的单调性相反。

- 若函数 $f(x)$ 关于直线 $x=a$ 对称，则函数 $f(x)$ 在直线 $x=a$ 处取得最值。

三、函数对称中心的性质

1、定义：如果函数 $f(x)$ 的图像关于点 $(a,b)$ 对称，那么点 $(a,b)$ 就是函数 $f(x)$ 的对称中心。

2、性质：

- 若函数 $f(x)$ 关于点 $(a,b)$ 对称，则有 $f(a+x)+f(a-x)=2b$ 对任意 $x$ 都成立。

- 若函数 $f(x)$ 关于点 $(a,b)$ 对称，则函数 $f(x)$ 在点 $(a,b)$ 两侧的单调性相同。

- 若函数 $f(x)$ 关于点 $(a,b)$ 对称，则函数 $f(x)$ 在点 $(a,b)$ 处的函数值为 $b$。

四、例题解析

1、已知函数 $f(x)=x^2-2x+3$，求函数 $f(x)$ 的对称轴和对称中心。

- 解：将函数 $f(x)$ 化为顶点式：$f(x)=(x-1)^2+2$。

- 因为函数 $f(x)$ 的图像是一个开口向上的抛物线，所以它的对称轴是直线 $x=1$。

- 又因为函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称，所以它的对称中心是点 $(1,2)$。

2、已知函数 $f(x)=\frac{1}{x+1}$，求函数 $f(x)$ 的对称中心。

- 解：将函数 $f(x)$ 化为反比例函数的形式：$f(x)=\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x-(-1)}$。

- 因为反比例函数的图像是一个双曲线，它的对称中心是原点 $(0,0)$。

- 又因为函数 $f(x)$ 的图像是由反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图像向左平移一个单位得到的，所以它的对称中心是点 $(-1,0)$。

3、已知函数 $f(x)=x^3-3x^2+2x$，求函数 $f(x)$ 的对称轴和对称中心。

- 解：将函数 $f(x)$ 求导：$f'(x)=3x^2-6x+2$。

- 令 $f'(x)=0$，解得 $x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。

- 当 $x<1-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $x>1+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，$f'(x)>0$，函数 $f(x)$ 单调递增；当 $1-\frac{\sqrt{3}}{3}<x<1+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，$f'(x)<0$，函数 $f(x)$ 单调递减。

- 所以函数 $f(x)$ 的对称轴是直线 $x=1$，对称中心是点 $(1,0)$。

4、已知函数 $f(x)=\sin x+\cos x$，求函数 $f(x)$ 的对称轴和对称中心。

- 解：将函数 $f(x)$ 化为正弦型函数的形式：$f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$。

- 因为正弦函数的图像是一个周期函数，它的对称轴是直线 $x=k\pi+\frac{\pi}{2}$，对称中心是点 $(k\pi,0)$，$k\in Z$。

- 所以函数 $f(x)$ 的对称轴是直线 $x=k\pi+\frac{\pi}{4}$，对称中心是点 $(k\pi-\frac{\pi}{4},0)$，$k\in Z$。

五、总结

通过以上例题的分析，我们可以总结出函数对称轴和对称中心的一些性质和应用：

1、函数的对称轴和对称中心是函数对称性的两种表现形式，它们分别反映了函数图像在平面直角坐标系中的对称性质。

2、若函数 $f(x)$ 关于直线 $x=a$ 对称，则有 $f(a+x)=f(a-x)$ 对任意 $x$ 都成立；若函数 $f(x)$ 关于点 $(a,b)$ 对称，则有 $f(a+x)+f(a-x)=2b$ 对任意 $x$ 都成立。

3、函数的对称轴和对称中心在函数的图像变换、函数的最值、函数的单调性等方面都有着重要的应用。

在学习函数的对称性时，我们需要结合函数的图像和性质进行分析，通过例题的练习来加深对函数对称性的理解和掌握，我们还需要注意函数的定义域和值域对函数对称性的影响，避免出现错误的结论。

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