已知函数对称轴和对称中心求周期的公式及应用
一、引言
在数学中，函数的周期性是一个重要的概念，它描述了函数在一定区间内重复出现的性质，对于一些特殊的函数，我们可以通过已知的对称轴和对称中心来确定它们的周期，本文将介绍已知函数对称轴和对称中心求周期的公式，并通过实例展示其应用。
二、对称轴和对称中心的定义
1、对称轴：如果函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称，那么直线 $x=a$ 就是函数 $f(x)$ 的对称轴。
2、对称中心：如果函数 $f(x)$ 的图像关于点 $(a,b)$ 对称，那么点 $(a,b)$ 就是函数 $f(x)$ 的对称中心。
三、周期的定义
如果存在一个非零常数 $T$，使得对于任意的 $x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，那么函数 $f(x)$ 就叫做周期函数，$T$ 叫做函数 $f(x)$ 的周期。
四、已知函数对称轴和对称中心求周期的公式
1、对称轴和对称中心的关系：如果函数 $f(x)$ 有对称轴 $x=a$ 和对称中心 $(b,c)$，那么函数 $f(x)$ 的周期为 $T=4|a-b|$。
2、证明：
- 因为函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称，所以有 $f(a+x)=f(a-x)$。
- 因为函数 $f(x)$ 的图像关于点 $(b,c)$ 对称，所以有 $f(b+x)+f(b-x)=2c$。
- 将 $x=a-b$ 代入上式，得到 $f(a)+f(b)=2c$。
- 将 $x=a+b$ 代入上式，得到 $f(a)+f(b)=2c$。
- $f(a)=f(b)$。
- 将 $x=a$ 代入 $f(a+x)=f(a-x)$，得到 $f(2a)=f(0)$。
- 将 $x=b$ 代入 $f(b+x)+f(b-x)=2c$，得到 $f(2b)=2c-f(0)$。
- 因为 $f(a)=f(b)$，$f(2a)=f(2b)$。
- $f(0)=2c-f(0)$，即 $f(0)=c$。
- 函数 $f(x)$ 的周期为 $T=4|a-b|$。
五、实例应用
1、求函数 $f(x)=\sin x$ 的周期：
- 函数 $f(x)=\sin x$ 的图像关于直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称，关于点 $(0,0)$ 对称。
- 函数 $f(x)=\sin x$ 的周期为 $T=4|\frac{\pi}{2}-0|=2\pi$。
2、求函数 $f(x)=\cos x$ 的周期：
- 函数 $f(x)=\cos x$ 的图像关于直线 $x=\pi$ 对称，关于点 $(0,0)$ 对称。
- 函数 $f(x)=\cos x$ 的周期为 $T=4|\pi-0|=4\pi$。
3、求函数 $f(x)=\tan x$ 的周期：
- 函数 $f(x)=\tan x$ 的图像关于直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称，关于点 $(\frac{\pi}{2},0)$ 对称。
- 函数 $f(x)=\tan x$ 的周期为 $T=4|\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}|=\pi$。
六、结论
本文介绍了已知函数对称轴和对称中心求周期的公式，并通过实例展示了其应用，这个公式对于一些特殊的函数非常有用，可以帮助我们快速求出它们的周期，在实际应用中，我们需要注意对称轴和对称中心的位置关系，以及函数的定义域和值域等因素。
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