已知函数对称轴和对称中心求周期的方法
一、引言
在数学中，函数的周期性是一个重要的概念，它描述了函数在一定范围内重复出现的性质，对于一些特殊的函数，我们可以通过已知的对称轴和对称中心来确定它们的周期，本文将介绍如何利用函数的对称轴和对称中心来求周期，并通过具体的例子进行说明。
二、函数对称轴和对称中心的定义
1、对称轴：如果函数$f(x)$的图像关于直线$x=a$对称，那么直线$x=a$就是函数$f(x)$的对称轴。
2、对称中心：如果函数$f(x)$的图像关于点$(a,b)$对称，那么点$(a,b)$就是函数$f(x)$的对称中心。
三、函数周期性的定义
如果存在一个非零常数$T$，使得对于函数$f(x)$的定义域内的任意$x$，都有$f(x+T)=f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做周期函数，非零常数$T$叫做这个函数的周期。
四、已知函数对称轴和对称中心求周期的方法
1、如果函数$f(x)$有两条对称轴$x=a$和$x=b$，那么函数$f(x)$的周期是$T=2|a-b|$。
证明：因为函数$f(x)$的图像关于直线$x=a$对称，所以有$f(a+x)=f(a-x)$。
同理，因为函数$f(x)$的图像关于直线$x=b$对称，所以有$f(b+x)=f(b-x)$。
将$x=a+x$代入$f(b+x)=f(b-x)$中，得到$f(b+a+x)=f(b-a-x)$。
将$x=b-x$代入$f(a+x)=f(a-x)$中，得到$f(a+b-x)=f(a-b+x)$。
将上面两个式子联立起来，得到$f(b+a+x)=f(a-b+x)$。
令$t=a-b+x$，则有$f(t+2(b-a))=f(t)$。
因为$b>a$，2(b-a)>0$，所以函数$f(x)$的周期是$T=2|a-b|$。
2、如果函数$f(x)$有一个对称轴$x=a$和一个对称中心$(b,0)$，那么函数$f(x)$的周期是$T=4|a-b|$。
证明：因为函数$f(x)$的图像关于直线$x=a$对称，所以有$f(a+x)=f(a-x)$。
因为函数$f(x)$的图像关于点$(b,0)$对称，所以有$f(b+x)=-f(b-x)$。
将$x=a+x$代入$f(b+x)=-f(b-x)$中，得到$f(b+a+x)=-f(b-a-x)$。
将$x=b-x$代入$f(a+x)=f(a-x)$中，得到$f(a+b-x)=f(a-b+x)$。
将上面两个式子联立起来，得到$f(b+a+x)=-f(a-b+x)$。
令$t=a-b+x$，则有$f(t+2(b-a))=-f(t)$。
将$t=t+2(b-a)$代入上式中，得到$f(t+4(b-a))=-f(t+2(b-a))=f(t)$。
因为$b>a$，4(b-a)>0$，所以函数$f(x)$的周期是$T=4|a-b|$。
五、具体例子
1、已知函数$f(x)=sin(x+\frac{\pi}{3})$，求函数$f(x)$的周期。
解：因为函数$f(x)=sin(x+\frac{\pi}{3})$的图像关于直线$x=\frac{\pi}{6}$对称，所以函数$f(x)$的周期是$T=2|\frac{\pi}{6}-0|=\frac{\pi}{3}$。
2、已知函数$f(x)=cos(2x-\frac{\pi}{4})$，求函数$f(x)$的周期。
解：因为函数$f(x)=cos(2x-\frac{\pi}{4})$的图像关于直线$x=\frac{\pi}{8}$对称，所以函数$f(x)$的周期是$T=2|\frac{\pi}{8}-0|=\frac{\pi}{4}$。
3、已知函数$f(x)=tan(x+\frac{\pi}{4})$，求函数$f(x)$的周期。
解：因为函数$f(x)=tan(x+\frac{\pi}{4})$的图像关于点$(-\frac{\pi}{4},0)$对称，所以函数$f(x)$的周期是$T=4|-\frac{\pi}{4}-0|=\pi$。
六、结论
通过本文的介绍，我们可以利用函数的对称轴和对称中心来求周期，如果函数$f(x)$有两条对称轴$x=a$和$x=b$，那么函数$f(x)$的周期是$T=2|a-b|$；如果函数$f(x)$有一个对称轴$x=a$和一个对称中心$(b,0)$，那么函数$f(x)$的周期是$T=4|a-b|$，这些方法在解决一些与周期函数有关的问题时非常有用，可以帮助我们更快速、更准确地求出函数的周期。
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