标题：探究既有对称轴又有对称中心的函数的周期性
本文主要探讨了一个函数既有对称轴又有对称中心时，该函数的周期性问题，通过对函数的对称性进行分析，结合相关定理和性质，得出了函数周期性的一些结论，并对其进行了详细的证明和讨论，通过具体的例子说明了这些结论的应用。
一、引言
函数的对称性是函数的一个重要性质，它在数学分析、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用，而函数的周期性则是函数的另一个重要性质，它反映了函数在一定区间内的重复规律，在实际问题中，我们经常会遇到既有对称轴又有对称中心的函数，那么这些函数是否具有周期性呢？如果具有周期性，其周期又如何确定呢？本文将对这些问题进行深入的探讨。
二、函数的对称性
（一）对称轴
如果函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称，那么对于任意的 $x$，都有 $f(a+x)=f(a-x)$。
（二）对称中心
如果函数 $f(x)$ 的图像关于点 $(a,b)$ 对称，那么对于任意的 $x$，都有 $f(a+x)+f(a-x)=2b$。
三、函数的周期性
（一）周期函数的定义
如果存在一个非零常数 $T$，使得对于任意的 $x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，那么函数 $f(x)$ 就叫做周期函数，$T$ 叫做函数 $f(x)$ 的周期。
（二）最小正周期
如果周期函数 $f(x)$ 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数 $f(x)$ 的最小正周期。
四、既有对称轴又有对称中心的函数的周期性
（一）定理 1
如果函数 $f(x)$ 既有对称轴 $x=a$，又有对称中心 $(b,c)$，那么函数 $f(x)$ 是周期函数，且周期为 $T=4|a-b|$。
证明：
因为函数 $f(x)$ 既有对称轴 $x=a$，所以对于任意的 $x$，都有 $f(a+x)=f(a-x)$。
因为函数 $f(x)$ 又有对称中心 $(b,c)$，所以对于任意的 $x$，都有 $f(b+x)+f(b-x)=2c$。
将 $x=a+b$ 代入上式，得 $f(2a+b)+f(b)=2c$。
将 $x=b-a$ 代入上式，得 $f(2b-a)+f(a)=2c$。
将上面两式相减，得 $f(2a+b)-f(2b-a)=f(a)-f(b)$。
将 $x=2a+b$ 代入上式，得 $f(4a+2b)-f(2b)=f(2a+b)-f(b)$。
将 $x=2b$ 代入上式，得 $f(4b)-f(2b)=f(2b)-f(b)$。
将上面两式相减，得 $f(4a+2b)-f(4b)=f(2a+b)-f(2b)$。
即 $f(4a+2b)=f(4b)$。
因为 $a\neq b$，$4a+2b\neq 4b$。
函数 $f(x)$ 是周期函数，且周期为 $T=4|a-b|$。
（二）定理 2
如果函数 $f(x)$ 既有对称轴 $x=a$，又有对称中心 $(b,c)$，且 $a\neq b$，那么函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T=4|a-b|$。
证明：
假设函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T_0$，且 $T_0\neq 4|a-b|$。
因为函数 $f(x)$ 是周期函数，所以对于任意的 $x$，都有 $f(x+T_0)=f(x)$。
将 $x=a$ 代入上式，得 $f(a+T_0)=f(a)$。
因为函数 $f(x)$ 既有对称轴 $x=a$，所以对于任意的 $x$，都有 $f(a+x)=f(a-x)$。
将 $x=T_0$ 代入上式，得 $f(a+T_0)=f(a-T_0)$。
$f(a-T_0)=f(a)$。
将 $x=b$ 代入上式，得 $f(b-T_0)=f(b)$。
因为函数 $f(x)$ 又有对称中心 $(b,c)$，所以对于任意的 $x$，都有 $f(b+x)+f(b-x)=2c$。
将 $x=T_0$ 代入上式，得 $f(b+T_0)+f(b-T_0)=2c$。
$f(b+T_0)=2c-f(b-T_0)$。
将上面两式相减，得 $f(a-T_0)-f(b+T_0)=f(a)-2c+f(b-T_0)$。
即 $f(a-T_0)-f(b+T_0)=f(a)+f(b)-2c$。
因为 $a\neq b$，$a-T_0\neq b+T_0$。
函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T=4|a-b|$。
五、具体例子
（一）函数 $f(x)=\sin x$
函数 $f(x)=\sin x$ 的图像关于直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称，又关于点 $(0,0)$ 对称。
根据定理 1，函数 $f(x)=\sin x$ 是周期函数，且周期为 $T=4\times\frac{\pi}{2}=2\pi$。
根据定理 2，函数 $f(x)=\sin x$ 的最小正周期为 $T=2\pi$。
（二）函数 $f(x)=\cos x$
函数 $f(x)=\cos x$ 的图像关于直线 $x=k\pi$（$k\in Z$）对称，又关于点 $(\frac{\pi}{2}+k\pi,0)$（$k\in Z$）对称。
根据定理 1，函数 $f(x)=\cos x$ 是周期函数，且周期为 $T=4\times\frac{\pi}{2}=2\pi$。
根据定理 2，函数 $f(x)=\cos x$ 的最小正周期为 $T=2\pi$。
（三）函数 $f(x)=\tan x$
函数 $f(x)=\tan x$ 的图像关于直线 $x=\frac{k\pi}{2}$（$k\in Z$）对称，又关于点 $(\frac{k\pi}{2},0)$（$k\in Z$）对称。
根据定理 1，函数 $f(x)=\tan x$ 是周期函数，且周期为 $T=4\times\frac{\pi}{2}=2\pi$。
根据定理 2，函数 $f(x)=\tan x$ 的最小正周期为 $T=\pi$。
六、结论
本文通过对函数的对称性进行分析，得出了一个函数既有对称轴又有对称中心时，该函数是周期函数，且周期为 $T=4|a-b|$，$a$ 和 $b$ 分别是函数的对称轴和对称中心的横坐标，本文还通过具体的例子说明了这些结论的应用，需要注意的是，这些结论只适用于函数的对称轴和对称中心不重合的情况，如果函数的对称轴和对称中心重合，那么函数的周期性就需要进一步讨论。
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